已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)(1) 求a2 ,a3 ,a4 （2）猜想数列an的通项公式,并证明你的猜想
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:10:34
已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)(1) 求a2 ,a3 ,a4 （2）猜想数列an的通项公式,并证明你的猜想
已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)
(1) 求a2 ,a3 ,a4
（2）猜想数列an的通项公式,并证明你的猜想
已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)(1) 求a2 ,a3 ,a4 （2）猜想数列an的通项公式,并证明你的猜想
1、
a1=f(x)=x/√(1+x²)
a2=f(a1)=[x/√(1+x²)]/√[1+x²/(1+x²)]=[x/√(1+x²)]/[√(2x²+1)/√(1+x²)]=x/√(2x²+1)
a3=f(a2)=[x/√(1+2x²)]/√[1+x²/(1+2x²)]=[x/√(1+2x²)]/[√(3x²+1)/√(1+2x²)]=x/√(3x²+1)
a4=f(a3)=[x/√(1+3x²)]/√[1+x²/(1+3x²)]=[x/√(1+3x²)]/[√(4x²+1)/√(1+3x²)]=x/√(4x²+1)
2、
猜想：an=x/√(nx²+1)
证：
由(1)得,n=1时,a1=x/√(1+x²),表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=x/√(kx²+1),则当n=k+1时,
a(k+1)=f(ak)=[x/√(1+kx²)]/√[1+x²/(1+kx²)]=[x/√(1+kx²)]/[√((k+1)x²+1)/√(1+kx²)]=x/√[(k+1)x²+1],表达式同样成立.
综上,得数列{an}的通项公式为an=x/√(nx²+1).