已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有两个相异交点;(2)证明:若对x1,x2且x1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 00:03:15
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有两个相异交点;(2)证明:若对x1,x2且x1
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有两个相异交点;(2)证明:若对x1,x2且x1
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有两个相异交点;(2)证明:若对x1,x2且x1
【1】
f(1)=a＋b＋c=0,因为;a>b>c,则：a>0且c0
则函数与x轴有两个不同交点
【2】
设：g(x)=f(x)－[f(x1)＋f(x2)]/2
则：g(x1)=[f(x1)－f(x2)]/2、g(x2)=[f(x2)－f(x1)]/2
因为f(x1)≠f(x2),则：[g(x1)]×[g(x2)]
1、f(1)=a+b+c=0
且a>b>c，推出a>0且c<0
这说明函数是开口朝上的抛物线
f(0)=c<0,函数至少过两点(1,0)(0,c)
所以函数对称轴必定小于0，又开口朝上
所以f(x)的图象与x轴有两个相异交点
证明：∵a＞b＞c且f（1）=0，∴a-b-c=0，a＞0，c＜0，∴判别式△=b2-4ac=（a-c）2＞0，
f（x）的图象与x轴有两个相异交点，设f（x）=0的两个根分别为 x1 和 x2，则 x1+x2=-
ba
，x1x2=
ca
．
又由上可得 a＞-a-c，
ca
＜-1-
ca
＜1，故有-2＜
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证明：∵a＞b＞c且f（1）=0，∴a-b-c=0，a＞0，c＜0，∴判别式△=b2-4ac=（a-c）2＞0，
f（x）的图象与x轴有两个相异交点，设f（x）=0的两个根分别为 x1 和 x2，则 x1+x2=-
ba
，x1x2=
ca
．
又由上可得 a＞-a-c，
ca
＜-1-
ca
＜1，故有-2＜
ca
＜-
12
．
|x1-x2|=
(x1+ x2)2-4x1x2
=
b2a2-
4ca
=
(a-c)2a2
=1-
ca
．
再由
32
＜1-
ca
＜3，可得
32
＜|x1-x2|＜3，故两交点间距离的取值范围为（
32
，3）．
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