x,y属于R*,且x+y=1,求证:(1)(x+1/x)(y+1/y)≥25/4 (2)(x+1/x)^2+(y+1/y)^2≥25/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:18:45
x,y属于R*,且x+y=1,求证:(1)(x+1/x)(y+1/y)≥25/4 (2)(x+1/x)^2+(y+1/y)^2≥25/2
x,y属于R*,且x+y=1,求证:(1)(x+1/x)(y+1/y)≥25/4 (2)(x+1/x)^2+(y+1/y)^2≥25/2
x,y属于R*,且x+y=1,求证:(1)(x+1/x)(y+1/y)≥25/4 (2)(x+1/x)^2+(y+1/y)^2≥25/2
第一题
左边=xy+x/y+y/x+1/xy≥2+xy+1/xy 其中xy∈[0,1/4]
故由耐克函数的图像,知xy+1/xy≥17/4
因为两次放缩可同时取到等号,故证明无误,即左边≥17/4+2=25/4.,
第二题
左边≥2(x+1/x)(y+1/y)
由上一题,(x+1/x)(y+1/y)≥25/4
即左边≥25/2 .
(1)(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=x/y+y/x+xy+1/xy (xy+1/xy不能用均值定理）
=x/y+y/x+xy+（x+y)^2/xy
=2(x/y+y/x)+xy+2 (1=x+y≥2√xy),xy≤1/4，)
≥6+xy=6.25
此时...
全部展开
(1)(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=x/y+y/x+xy+1/xy (xy+1/xy不能用均值定理）
=x/y+y/x+xy+（x+y)^2/xy
=2(x/y+y/x)+xy+2 (1=x+y≥2√xy),xy≤1/4，)
≥6+xy=6.25
此时x=y=1/2
方法2
(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=[(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[2-2xy+(xy)^2]/xy=2/xy+xy-2.
设t=xy≤[(x+y)/2]^2=1/4.
f(t)=2/t+t在（0，√2）单减，在（√2，+∞）单增。f(t)=2/t+t在t=1/4时取得最小值。代入得最小为25/4
法三、不妨设0＜x≤y＜1.易知有0＜x+(1/x)≤y+(1/y).===>0＜[x+(1/x)]²≤[x+(1/x)][y+(1/y)].等号仅当x=y=1/2时取得。（二）∵0＜x≤1/2,∴x+(1/x)≥5/2.等号仅当x=1/2时取得。∴（x+1/x)(y+1/y)≥(x+1/x)²≥25/4.等号仅当x=y=1/2时取得。∴（x+1/x)(y+1/y)min=25/4.【在这里，将x换为y,y换为x,结果一样。故仅需讨论0＜x≤y＜1的情况，对0＜y≤x＜1的情况同理。这就是轮换的意义。】
（2）可采用（1）的思路，过程较长，这里就不打出来了，楼主自己先试一下吧。
收起
(1)原式=xy+y/x+x/y+(x+y)/xy
=(x^2y^2+x^2+y^2+1)/xy
设x=1/2+a,则y=1/2-a
带入化简原式得(a^4+3/2a^2+25/16)/(1/4-a^2)
(a^4+3/2a^2+25/16)大于等于25/16
(1/4-a^2)小于等于1/4
原式大于等于25/4
请追问（2）