解高一一道数学题（数列求通项公式）数列{a n}中,a1=1/2,前n项和Sn=n^2·an,求通项公式a n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 05:22:11
解高一一道数学题（数列求通项公式）数列{a n}中,a1=1/2,前n项和Sn=n^2·an,求通项公式a n
解高一一道数学题（数列求通项公式）
数列{a n}中,a1=1/2,前n项和Sn=n^2·an,求通项公式a n
解高一一道数学题（数列求通项公式）数列{a n}中,a1=1/2,前n项和Sn=n^2·an,求通项公式a n
a1=1/2 ,Sn=n^2*an
那么有S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1).
两式相减得,an=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
得an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
同理a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
……
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
a1=1/2
左边乘积等于右边
得到an=1/(n^2+n)=1/[n(n+1)]
n=1,a1=1/2,S1=1/2
n=2,4a2=a2+1/2,a2=1/6,S2=2/3
n=3,9a3=a3+2/3,a3=1/12,S3=3/4
.....
an=1/[n(n+1)]
Sn-1=(n-1)^2*an-1
两式相减an=n^2·an-(n-1)^2*an-1
所以(n+1)an=(n-1)an-1 an=(n-1)/(n+1)an-1
所以an=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*(n-3)/(n-1)...*1/3a1=1/(n+1)
检验a1 也符合
an=sn-s(n-1)=n^2an-(n-1)^2a(n-1)
(n^2-1)an=(n-1)^2a(n-1)
an=a(n-1)*((n-1)/(n+1))
an=((n-1)/(n+1))*a(n-1)=((n-1)/(n+1))*((n-2)/(n))*a(n-2)
=...=((n-1)/(n+1))*((n-2)/(n))*((n-3)/(n-1))*......*((2-1)/(2+1))a1
=2/(n(n+1))*a1=1/n(n+1)
an=1/(n(n+1))
答案an=1/[（n+1）*n]
简要过程an=sn-s(n-1)=n^2·an-（n-1）^2·a（n-1）
=>an=(n-1)/(n+1) *a(n-1)
展开递归约分an=2/(n+1)*1/n*a1