求x*(dy/dx)=lnx-y的通解

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 16:19:57
求x*(dy/dx)=lnx-y的通解求x*(dy/dx)=lnx-y的通解求x*(dy/dx)=lnx-y的通解x*(dy/dx)=lnx-yy''+1/x*y=(lnx)/xy''+p(x)̶

求x*(dy/dx)=lnx-y的通解
求x*(dy/dx)=lnx-y的通解

求x*(dy/dx)=lnx-y的通解
x*(dy/dx)=lnx-y
y'+1/x*y=(lnx)/x
y' + p(x)•y = q(x)的通解为：
y = [e^-∫ p(x) dx] • [∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx + C]
本题
p(x)=1/x
q(x)=lnx/x
∫ p(x) dx=lnx
∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx
=∫lnx/x*e^(lnx)dx
=∫lnxdx
=xlnx-∫x*1/xdx
=xlnx-x
故
y = [e^-∫ p(x) dx] • [∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx + C]
=e^(-lnx)• (xlnx-x+ C)
=lnx-1+C/x

设 x=e^t，则
lnx=t，dx=(e^t)dt
原方程变为
(e^t)dy/[(e^t)dt]=t-y
即 dy/dt+y=t
上面的方程对应的齐次方程 dy/dt+y=0 的解为 y(1)=C[e^(-t)]
设 dy/dt+y=t 的特解为 y(2)=at+b
代入解得 y(2)=t-1
所以 原方程的解为
y=C[...

全部展开

设 x=e^t，则
lnx=t，dx=(e^t)dt
原方程变为
(e^t)dy/[(e^t)dt]=t-y
即 dy/dt+y=t
上面的方程对应的齐次方程 dy/dt+y=0 的解为 y(1)=C[e^(-t)]
设 dy/dt+y=t 的特解为 y(2)=at+b
代入解得 y(2)=t-1
所以 原方程的解为
y=C[e^(-t)]+t-1
代入t=lnx，即
y=C/x+lnx-1

收起

求x*(dy/dx)=lnx-y的通解 x*dy/dx=y(lny-lnx) 的通解 求微积分方程（y/x）*dx+(y^3+lnx)dy=0的通解 求方程 x(dy/dx) +y=y(lnx+lny)的通解 求微分方程dx/dy=x/2(lnx-y)的通解 方程dy/dx+y/x=a(lnx)y2通解 求微积分dy/dx=y/x+x的通解 微分方程(x+y)(dx-dy)=dx+dy的通解 dy/dx=-y/x 的通解 dy/dx=x+y的通解 求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解 求微分方程的通解:dy/dx=10^x+y 求微积分方程dy/dx=x-y的通解 求dy/dx=1/(x+y)的通解 求方程dy/dx+2y=x的通解 求微分方程dy/dx=(x+y)/(x_y)的通解 求dy/dx=2x+y的通解. 求(dy/dx)-y=e^x的通解