关于无穷大与无界的差别是不是无穷大的图像是单调的呢?这样就不会像y=(1/x)cos(1/x)一样：“因为总有=零的情况,所以不是无穷大”,是这样吗?

关于无穷大与无界的差别是不是无穷大的图像是单调的呢?这样就不会像y=(1/x)cos(1/x)一样：“因为总有=零的情况,所以不是无穷大”,是这样吗?
关于无穷大与无界的差别
是不是无穷大的图像是单调的呢?这样就不会像y=(1/x)cos(1/x)一样：“因为总有=零的情况,所以不是无穷大”,是这样吗?

关于无穷大与无界的差别是不是无穷大的图像是单调的呢?这样就不会像y=(1/x)cos(1/x)一样：“因为总有=零的情况,所以不是无穷大”,是这样吗?
无穷大量与无界量的区别和联系
若 ,则根据无穷大的定义,对于任意的正数 ,有 ,当 时,恒有 ,这表明对于 的去心邻域里的一切点 ,都必有 .
若 在 的去心邻域里无界,则对于无论多么大的正数 ,都存在点 属于该邻域,使得 ,这表明在 的去心邻域里,可能出现点 ,使得 .
对比上述定义得知,在自变量的同一个变化过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量未必是无穷大量.例如,在区间 上,是无界量,但是当 时,不是无穷大量.

有界是否就意味着有极限呢？
【当然不是，对正确的命题需要加以证明，对如下不成立的性质，数学上通过举出反例说明；不学习反例，基础概念你永远是笔糊涂账；
下面两个反例你需要仔细研究一下，要自己画个图形，
1：书上一般都有，在 x=0 附近无限震荡；
2：同1）但注意振幅不是1，而是无穷大量 1/x^2】
极限存在 ====》 有界 【定理】

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有界是否就意味着有极限呢？
【当然不是，对正确的命题需要加以证明，对如下不成立的性质，数学上通过举出反例说明；不学习反例，基础概念你永远是笔糊涂账；
下面两个反例你需要仔细研究一下，要自己画个图形，
1：书上一般都有，在 x=0 附近无限震荡；
2：同1）但注意振幅不是1，而是无穷大量 1/x^2】
极限存在 ====》 有界 【定理】
有界 =×=》 极限存在 【如1：lim(x->0) sin(1/x) 震荡无极限】
无穷大量 ====》 无界 【参考定义，无穷大是全称“任意”，在0点附近 的所有函数值都满足不等式 |f(x)|>M】
无界 =×=》 无穷大量 【而无界定义是特称"存在"，附近有函数值满足 不等式 |f(x)|>M；参考上述你举的例子，存在无法推出任意】
简单说下，给你的这个函数，在 0 点附近，
1)必有无穷多个 零点：f(1/(nπ))=0
2)又有无穷多个函数值无限增大的点 ：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2
故而函数值无界：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2 ——》∞，
但又不是无穷大量 f(1/(nπ)) = 0

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无穷大是一个非常大的数，这个数无法确定，所以说它是无界的。
无穷大可以是趋向某一点时是无穷大

1，2，2，2，3，2，4，2...n,2
an=n (n=2k+1)
an=2 (n=2k)
n趋向无穷的话，an在无穷大和2之间不断切换，所以无界，但是此时不能说an无穷大
你究竟还是不太明白这个无穷大和有界啊！
无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。
设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
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1，2，2，2，3，2，4，2...n,2
an=n (n=2k+1)
an=2 (n=2k)
n趋向无穷的话，an在无穷大和2之间不断切换，所以无界，但是此时不能说an无穷大
你究竟还是不太明白这个无穷大和有界啊！
无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。
设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
|f(x)|<=M
对任一x∈D都成立，则函数f(x)在X上有界。
如何判断一个函数是否有界 就要看它是否无限趋近于一个常数，如是则有界，否则无界。

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我们分析一下吧
如果这个数列是无穷大,那么"无穷"二字已经包含了"无界",也就是说既然"无穷"就可以说是"无界".但是后面虽然有一个2,我想这个2不应该说是有界的.我想这个只能是个形式上的意义,没有实际意义的.这个数列实际上是无穷的.如果把那个2去掉的话也是无穷的,只是形式上有所不同而已.这个数列无穷大且有界.一个数列即是无穷大又是有界的这样不合逻辑吧?举个例子,就好像宇宙一样,我们知道...

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我们分析一下吧
如果这个数列是无穷大,那么"无穷"二字已经包含了"无界",也就是说既然"无穷"就可以说是"无界".但是后面虽然有一个2,我想这个2不应该说是有界的.我想这个只能是个形式上的意义,没有实际意义的.这个数列实际上是无穷的.如果把那个2去掉的话也是无穷的,只是形式上有所不同而已.这个数列无穷大且有界.一个数列即是无穷大又是有界的这样不合逻辑吧?举个例子,就好像宇宙一样,我们知道宇宙是无穷大的,难道我们能说宇宙无穷大且有界吗?我想应该不能.假设上面那个1是某一光源的发光点,整个数列是一条光线向宇宙中发去,而2就是那个光线前进方向上的一个顶点,那么,如果宇宙是无穷的这条光线就是无穷的而那个2又能起到什么作用呢?以上是我个人见解.

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网上视频：蔡高厅高等数学 上册10 清晰版 。一看便知

无穷大应该是个量吧，不是个函数，跟无界是两个概念