函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?有界是否就意味着有极限呢?还有无穷大是不是：无界所以就无穷大?看看这个题目;到底是否有界,是否无穷大?原因···
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 19:06:38
函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?有界是否就意味着有极限呢?还有无穷大是不是：无界所以就无穷大?看看这个题目;到底是否有界,是否无穷大?原因···
函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?
有界是否就意味着有极限呢?
还有无穷大是不是：无界所以就无穷大?
看看这个题目;到底是否有界,是否无穷大?原因···
函数的无穷大,有界,无界,极限怎么区分?有界是否就意味着有极限呢?还有无穷大是不是：无界所以就无穷大?看看这个题目;到底是否有界,是否无穷大?原因···
无穷大：越来越大,无止境的大下去,无限度地大下去.但是,不可以正负无穷大之间波动.
有界：有一个范围限制函数的值域.
无界：没有一个范围可以限制,一会儿往正无穷大波动,一会儿往负无穷大波动.
极限：越来越趋向于一个固定值,函数值与固定值之差的绝对值趋向于无穷小.
例外：如果单调地趋向于正无穷大,我们也说极限是正无穷大；同样地,
如果单调地趋向于负无穷大,我们也说极限是负无穷大.
但是,如果一会儿正,一会儿负,绝对值趋向于无穷大,
也就是在正负无穷大之间波动,我们说“极限不存在”.
x趋向于0时,1/x²趋向于无穷大；sin(1/x)是有界的,在±1之间,但不是无穷大.
有界是否就意味着有极限呢？
【当然不是，对正确的命题需要加以证明，对如下不成立的性质，数学上通过举出反例说明；不学习反例，基础概念你永远是笔糊涂账；
下面两个反例你需要仔细研究一下，要自己画个图形，
1：书上一般都有，在 x=0 附近无限震荡；
2：同1）但注意振幅不是1，而是无穷大量 1/x^2】
极限存在 ====》 有界 【定理】
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有界是否就意味着有极限呢？
【当然不是，对正确的命题需要加以证明，对如下不成立的性质，数学上通过举出反例说明；不学习反例，基础概念你永远是笔糊涂账；
下面两个反例你需要仔细研究一下，要自己画个图形，
1：书上一般都有，在 x=0 附近无限震荡；
2：同1）但注意振幅不是1，而是无穷大量 1/x^2】
极限存在 ====》 有界 【定理】
有界 =×=》 极限存在 【如1：lim(x->0) sin(1/x) 震荡无极限】
无穷大量 ====》 无界 【参考定义，无穷大是全称“任意”，在0点附近 的所有函数值都满足不等式 |f(x)|>M】
无界 =×=》 无穷大量 【而无界定义是特称"存在"，附近有函数值满足 不等式 |f(x)|>M；参考上述你举的例子，存在无法推出任意】
简单说下，给你的这个函数，在 0 点附近，
1)必有无穷多个 零点：f(1/(nπ))=0
2)又有无穷多个函数值无限增大的点 ：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2
故而函数值无界：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2 ——》∞，
但又不是无穷大量 f(1/(nπ)) = 0
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根据定义来吧，无穷大也是极限的一种，
A有界是指 存在与A无关正实数M，对A的所有可能取值都有|A|
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根据定义来吧，无穷大也是极限的一种，
A有界是指 存在与A无关正实数M，对A的所有可能取值都有|A|
2. 无界不一定是无穷大，但是无穷大一定无界。
上面说了无穷大是一个极限概念，需要无限个、有顺序要求的可以任意大的数，而无界则只需一个就足以说明。
3.题目无界但不是无穷大。无界是因为可以找到一个x趋于0的方式(如 x=1/((4n+1)*pi/2))，使得函数值可以任意大，不是无穷大是因为函数本身在x趋于0的时候没有极限，谈不上无穷大这个概念。
收起
有界不一定有极限
无界也不一定就无穷大,具体要看实际情况,如LIM X, X本身是无界的,但这一题 X->0
却有极限,
所给题目中,一个为无穷大,一个为有界,所以结果为无穷大.