均值不等式问题设a,b,c都是正数,求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/04 06:38:26
均值不等式问题设a,b,c都是正数,求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
均值不等式问题
设a,b,c都是正数,求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
均值不等式问题设a,b,c都是正数,求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
1/4a+1/4b
=(a+b)/4ab
≥(a+b)/(a+b)^2
=1/(a+b)
同理1/4b+1/4c≥1/(b+c)
1/4c+1/4a≥1/(c+a)
由以上三式相加可得1/2a+1/2b+1/2c≥1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
不等式左边可变为1/4a+1/4a+1/4b+1/4b+1/4c+1/4c
即:(1/4a+1/4b)+(1/4b+1/4c)+(1/4a+1/4c);
因为1/4a+1/4b=(a+b)/4ab,并由(a+b)^2≥4ab
得:1/4a+1/4b=(a+b)/4ab≥(a+b)/(a+b)^2=1/(a+b);
同理可得
...
全部展开
不等式左边可变为1/4a+1/4a+1/4b+1/4b+1/4c+1/4c
即:(1/4a+1/4b)+(1/4b+1/4c)+(1/4a+1/4c);
因为1/4a+1/4b=(a+b)/4ab,并由(a+b)^2≥4ab
得:1/4a+1/4b=(a+b)/4ab≥(a+b)/(a+b)^2=1/(a+b);
同理可得
1/4b+1/4c≥(b+c)/(b+c)^2=1/(b+c);
1/4a+1/4c≥(a+c)/(a+c)^2=1/(a+c);
最后将上面三式相加
得1/2a+1/2b+1/2c≥1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
原题得证。
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