已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 10:15:18
已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是
已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是
已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2α,∠MF2F1=α(α≠0),则椭圆的离心率是
考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：应用正弦定理找出MF1和 MF2的关系,利用椭圆定义及焦距的长,得到2个等式,把这2个等式相除便可得到离心率的表达式,化简可求离心率．设MF1=m,MF2=n,由正弦定理得$\frac{m}{sinα}$=$\frac{n}{sin2α}$∴n=2mcosα,
又由椭圆的定义知,m+2mcosα=2a,mcos2α+2mcosα•cosα=2c,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{m（1+2cosα）}{m（cos2α+2{coa}^{2}α）}$=$\frac{1+2cosα}{4{cos}^{2}α-1}$=$\frac{1}{2cosα-1}$；
故答案为$\frac{1}{2cosα-1}$．点评：本题考查椭圆的定义和性质,及三角形中的正弦定理的应用
只有这些条件是解不出来的，你想一下，任何一个椭圆，如果M点从上顶点慢慢移到右顶点，开始∠MF1F2=∠MF2F1，最后∠MF1F2＝180，∠MF2F1＝0，移动中途一定会有∠MF1F2=2∠MF2F1，所以任何一个椭圆都满足条件，所以解不出来
应用正弦定理找出MF1和 MF2的关系，利用椭圆定义及焦距的长，得到2个等式，把这2个等式相除便可得到离心率的表达式，化简可求离心率．
设MF1=m，MF2=n，由正弦定理得 m/sinα= n/sin2α∴n=2mcosα，
又由椭圆的定义知，m+2mcosα=2a，mcos2α+2mcosα•cosα=2c，
∴e=c/a=2c/2a=[m(1+2cosα)...
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应用正弦定理找出MF1和 MF2的关系，利用椭圆定义及焦距的长，得到2个等式，把这2个等式相除便可得到离心率的表达式，化简可求离心率．
设MF1=m，MF2=n，由正弦定理得 m/sinα= n/sin2α∴n=2mcosα，
又由椭圆的定义知，m+2mcosα=2a，mcos2α+2mcosα•cosα=2c，
∴e=c/a=2c/2a=[m(1+2cosα)]/[m(cos2α+2coa2α)]=(1+2cosα)/(4cos2α-1)=1/(2cosα-1)；
故答案为 1/(2cosα-1)．
点评：本题考查椭圆的定义和性质，及三角形中的正弦定理的应用．
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