已知F1,F2是椭圆上的两个焦点,P为椭圆上的一点.∠F1PF2=601.求椭圆离心率的范围2.求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:42:23
已知F1,F2是椭圆上的两个焦点,P为椭圆上的一点.∠F1PF2=601.求椭圆离心率的范围2.求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关
已知F1,F2是椭圆上的两个焦点,P为椭圆上的一点.∠F1PF2=60
1.求椭圆离心率的范围
2.求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关
已知F1,F2是椭圆上的两个焦点,P为椭圆上的一点.∠F1PF2=601.求椭圆离心率的范围2.求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关
1.椭圆中三角形F1PF2
由正弦定理 |F1F2|/sin60度=|PF1|/(sin∠PF1F2)=|PF2|/(sin∠PF2F1)
令 ∠PF1F2=B ∠PF1F2=C A=60
所以由等比定理 2c/sinA=2a/(sinB+sinC)
所以 离心率e=c/a=sinA/(sinB+sinC)
sinB+sincC=2sin[(B+C)/2]*cos[(B-C)/2]=2sin60度*cos[(B-C)/2]
=根号3*cos[(B-C)/2]
因为 A=60度 所以 0≤B-C＜120度 所以 0≤(B-C)/2＜60度
所以 (根号3)/2＜sinB+sincC≤根号3
所以 1/2≤离心率e＜1
2. S△F1PF2=|PF1|*|PF2|*sinA/2
|PF1|*|PF2|=(PF1+PF2)平方-PF1平方-PF2平方
=(PF1+PF2)平方-(PF1平方+PF2平方)=4a平方-(PF1平方+PF2平方) (1)
F1F2平方=(2c)平方=PF1平方+PF2平方-2PF1*PF2*cosA
=PF1平方+PF2平方-PF1*PF2
所以 PF1平方+PF2平方=4c平方+PF1*PF2 (2)
将(2)式带入(1)中
4a平方-(4c平方+PF1PF2)=PF1PF2
所以 PF1PF2=2b平方
所以 S△F1PF2=|PF1|*|PF2|*sinA/2=根号3*b平方