已知函数f(x)=x^2+2x 若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有有理根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:03:21
已知函数f(x)=x^2+2x 若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有有理根
已知函数f(x)=x^2+2x 若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有有理根
已知函数f(x)=x^2+2x 若k是奇数,求证：方程f(x)=2k没有有理根
直接用求根公式：
x^2+2x-2k=0;
该方程至多有两根,下面验证判别式b^2-4ac不是完全平方数,即可证明它不是有理根：
设k=2m+1,m是整数；
b^2-4ac=2^2+4*2*(2m+1)=4*(2+4m)；
显然不是完全平方数.
所以方程没有有理根那.
f(x)=2k 得到 x^2+2x-2k=0 判别式=√(4+8k)
若方程有有理根 那么 4+8k肯定为有理数的平方根 并且由于k为整数 所以 4+8k肯定是一个完全平方数
设4+8k=p^2 p为整数
则p定为偶数 设p=2t t为整数 得到 1+2k=t^2
所以 2k=(t+1)(t-1)
(t+1)-(t-1)=2为...
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f(x)=2k 得到 x^2+2x-2k=0 判别式=√(4+8k)
若方程有有理根 那么 4+8k肯定为有理数的平方根 并且由于k为整数 所以 4+8k肯定是一个完全平方数
设4+8k=p^2 p为整数
则p定为偶数 设p=2t t为整数 得到 1+2k=t^2
所以 2k=(t+1)(t-1)
(t+1)-(t-1)=2为偶数 所以 t+1 t-1一定是同奇同偶的 又因为(t+1)(t-1)是偶数 所以t+1，t-1
都是偶数 从而(t+1)(t-1)=2k为4的倍数 从而k为偶数 与k为奇数矛盾
所以方程没有有理数根
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k是奇数时，假定方程f(x）=2k有有理根，即方程x²+2x-2k=0有有理根，其判别式△=2²-4（-2k)=4+8k=4(2k+1)，则√△=2√(2k+1)必为有理数。设2k+1=m²这里m是有理数。因为2k+1是奇数，故m应是奇数，设m=2n+1，那么2k+1=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1，得k=2n&...
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k是奇数时，假定方程f(x）=2k有有理根，即方程x²+2x-2k=0有有理根，其判别式△=2²-4（-2k)=4+8k=4(2k+1)，则√△=2√(2k+1)必为有理数。设2k+1=m²这里m是有理数。因为2k+1是奇数，故m应是奇数，设m=2n+1，那么2k+1=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1，得k=2n²+2n是偶数，这与题设k是奇数相矛盾。因此，当k是奇数时，方程f(x）=2k没有有理根。
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方程f（x）=2k可化为（x+1）^2=2k+1,假设有有理根，则若2k+1不能被开方则为带根号的无理数，所以2k+1为一个平方数，所以2k+1可以拆成w*w的形式，因2k+1为奇数，所以w必为奇数，设w为2r-1，则2k+1=(2r-1)^2,解得k=2r^2-2r=2(r^2-r)为偶数，所以若有有理根则跟k为奇数矛盾，所以没有有理根。...
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方程f（x）=2k可化为（x+1）^2=2k+1,假设有有理根，则若2k+1不能被开方则为带根号的无理数，所以2k+1为一个平方数，所以2k+1可以拆成w*w的形式，因2k+1为奇数，所以w必为奇数，设w为2r-1，则2k+1=(2r-1)^2,解得k=2r^2-2r=2(r^2-r)为偶数，所以若有有理根则跟k为奇数矛盾，所以没有有理根。
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