若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/05 19:07:51
若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是
若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是
若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是
考虑用一组直线簇y=x+b截抛物线y=ax^2-1.
如果存在实数b,使得直线y=x+b与抛物线相交于两点A(x1,x1+b)、B(x2,x2+b)的中点M((x1+x2)/2,(x1+x2+2b)/2)在直线x+y=0上,则可称抛物线y=a^x2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称.
将y=x+b代入抛物线方程,得ax^2-x-(b+1)=0 ①
方程①必须有两相异实根,故判别式△=1+4a(b+1)>0 ②
根据韦达定理得
x1+x2=1/a ③
AB中点M((x1+x2)/2,(x1+x2+2b)/2)在直线x+y=0上,故有
(x1+x2)/2+(x1+x2+2b)/2=0
也即0=x1+x2+x1+x2+2b=2(x1+x2+b)
得x1+x2=-b ④
由③和④得b=-1/a,代入②得
1+4a(-1/a+1)>0
解得a>3/4
本题主要是转化技巧.盼采纳!不明白可追问.
考虑用一组直线簇y=x+b截抛物线y=ax^2-1。
如果存在实数b,使得直线y=x+b与抛物线相交于两点A(x1,x1+b)、B(x2,x2+b)的中点M((x1+x2)/2,(x1+x2+2b)/2)在直线x+y=0上,则可称抛物线y=a^x2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称。
将y=x+b代入抛物线方程,得ax^2-x-(b+1)=0 ①
方程①必须有两相异实根,故判别式△=1+4a(b+1)>0 ②
根据韦达定理得
x1+x2=1/a ③
AB中点M((x1+x2)/2,(x1+x2+2b)/2)在直线x+y=0上,故有
(x1+x2)/2+(x1+x2+2b)/2=0
也即0=x1+x2+x1+x2+2b=2(x1+x2+b)
得x1+x2=-b ④
由③和④得b=-1/a,代入②得
1+4a(-1/a+1)>0
解得a>3/4