F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF=2向量FD,则C的离心率为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 10:51:19
F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF=2向量FD,则C的离心率为?
F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF=2向量FD,则C的离心率为?
F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且向量BF=2向量FD,则C的离心率为?
如图：
|BF|＝√(b²＋c²)＝a
作DD1⊥y轴于点D1,则由向量BF＝2向量FD,得：|OF|/|DD1|＝|BF|/|BD|＝2/3
∴|DD1|＝3/2|OF|＝3/2c
即xD＝3c/2
由椭圆的第二定义得：|FD|＝e[(a²/c)－(3c/2)]＝a－(3c²/2a)
又由|BF|＝2|FD|,得：c＝2a－(3c²/a)
整理得：3c²－2a²＋ac＝0
两边都除以a²,得：3e²＋e－2＝0
解得：e＝－1(舍去)或e＝√3/3
∴C的离心率为√3/3．
图片：
根号2，以前月考时做过原题
不失一般性设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),B(0,b),F(c,0),设D(m,n)
∵向量BF=2向量FD
∴(c,-b)=(2m-2c,2n)
∴2m-2c=c,2n=-b
∴m=3c/2,n=-b/2
∴D(3c/2,-b/2),把它代入椭圆方程得：(9c^2)/(4a^2)+(b^2)/(4b^2)=1
∴(9...
全部展开
不失一般性设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),B(0,b),F(c,0),设D(m,n)
∵向量BF=2向量FD
∴(c,-b)=(2m-2c,2n)
∴2m-2c=c,2n=-b
∴m=3c/2,n=-b/2
∴D(3c/2,-b/2),把它代入椭圆方程得：(9c^2)/(4a^2)+(b^2)/(4b^2)=1
∴(9c^2)/(4a^2)=3/4
∴c^2/a^2=1/3
∴e=c/a=√3/3
∴椭圆的离心率为√3/3
收起