用数学归纳法证明：1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/N(N+1)(N+2)=N(N+3)/4(N+1)(N+2)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:42:19
用数学归纳法证明：1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/N(N+1)(N+2)=N(N+3)/4(N+1)(N+2)
用数学归纳法证明：1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/N(N+1)(N+2)=N(N+3)/4(N+1)(N+2)
用数学归纳法证明：1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/N(N+1)(N+2)=N(N+3)/4(N+1)(N+2)
过程较繁琐,但是道理很清晰
1/n(n+1)(n+2)=1/2n(n+1)-1/2(n+1)(n+2)=1/2(1/n+1/(n+2)-2/(n+1))
利用数学归纳法
先证n=1成立
设n=k成立,证明n=k+1成立
N=1时,左边=1/6=右边
设N=n时等式成立,则
N=n+1时,左边=1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)
=n(n+3)/4(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)
=[n(n+3)(n+3)+4]/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
=[(n+1)(n+1)(n+4)...
全部展开
N=1时,左边=1/6=右边
设N=n时等式成立,则
N=n+1时,左边=1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)
=n(n+3)/4(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)
=[n(n+3)(n+3)+4]/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
=[(n+1)(n+1)(n+4)]/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
=[(n+1)(n+4)]/[4(n+2)(n+3)]=右边
故由数学归纳法,原等式成立
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证明：当n=1式，原式显然成立
（2)假设n=k，
1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)=k(k+3)/4(k+1)(k+2)
当n=k+1,
1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+3)/4(k+1)(k+2)+1/（k+1)(k+2)(k+3)
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证明：当n=1式，原式显然成立
（2)假设n=k，
1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)=k(k+3)/4(k+1)(k+2)
当n=k+1,
1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+3)/4(k+1)(k+2)+1/（k+1)(k+2)(k+3)
=[k(k+3)^2+4]/4(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+4)*(k+1)^2/4(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+4)(k+1)/4(k+2)(k+3)
原始成立
综合（1）（2）的证
收起
我不用数学归纳法，不知道是否对你有帮助，
由1／1×2×3=﹙2／1×2×3﹚×1／2
＝1／2﹙1／1×2-1／2×3﹚
1／2×3×4＝1／2﹙1／2×3-1／3×4﹚
。。。。。。
1／n﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚=1／2[1／n﹙n＋1﹚－1／﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚]
∴原式=1／2[1／1×2-1／﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚]
=n﹙n＋3﹚／4...
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我不用数学归纳法，不知道是否对你有帮助，
由1／1×2×3=﹙2／1×2×3﹚×1／2
＝1／2﹙1／1×2-1／2×3﹚
1／2×3×4＝1／2﹙1／2×3-1／3×4﹚
。。。。。。
1／n﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚=1／2[1／n﹙n＋1﹚－1／﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚]
∴原式=1／2[1／1×2-1／﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚]
=n﹙n＋3﹚／4﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚
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