一道数学竞赛题（数论）一个由正整数组成的数集有如下性质：集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包

一道数学竞赛题（数论）一个由正整数组成的数集有如下性质：集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包
一道数学竞赛题（数论）
一个由正整数组成的数集有如下性质：
集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；
如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包含n,2n,3n,5n的所有四个数.
已知这个集合有300到400个数,请问具体这个集合中有多少数?
（澳洲数学竞赛）

一道数学竞赛题（数论）一个由正整数组成的数集有如下性质：集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包
记这个数集为G.且称2,3,5为小素数.题设条件总结为
S1(存在性):G中大于1的整数必有小素因数.
S2(消去律):G中的整数除去一个小因子仍属于G.
S3(置换律):G中的整数,将它的1个小素因子置换为其它小素数仍属于G.
先简单说明几条引理
〖引理1〗G中的数不含大于5的素因数.
这是因为G中的任意数按S2除尽其小素因子后必剩下1,否则与S1相矛盾.
〖引理2〗有限集G中的最大数必为5的幂.
最大数若含有因数2或3,则按S3置换为5后变得更大,这与最大数前提相矛盾.
〖引理3〗设最大数为5^n,那么G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n,那么按置换律将2和3全部换成5后将得到大于5^n的幂.这与5^n为最大数相矛盾.
按消去律和置换律,2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素.
最后,x+y+z≤n的非负整数解数为C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300

先证明集合中的任何数都能写成2^i*3^j*5^k，否则若存在一个数X=2^i*3^j*5^k*p,P是不被2，3，5整除的数。那么把X除2，3，5得到的数也在集合中，这样不断的除以2，3，5得到P也在集合中，与题设矛盾。
然后给数按照s=i+j+k分组，当S为N时叫这个数就进入N组，再证明若存在一个数X在集合中，且设N=i+j+k则所有1，2，3，……n组的数都在集合中，用数学归纳法可以...

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先证明集合中的任何数都能写成2^i*3^j*5^k，否则若存在一个数X=2^i*3^j*5^k*p,P是不被2，3，5整除的数。那么把X除2，3，5得到的数也在集合中，这样不断的除以2，3，5得到P也在集合中，与题设矛盾。
然后给数按照s=i+j+k分组，当S为N时叫这个数就进入N组，再证明若存在一个数X在集合中，且设N=i+j+k则所有1，2，3，……n组的数都在集合中，用数学归纳法可以轻易得证。
然后计算N组中有多少个数。设有an个数再求前N项和sn，然后找到那个正好是300到400之间的就可以了！

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设数集存在一个数X
根据 如果对于任意正整数n，在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个，则集合中包含n
所以数集包含X的所有因数且所有质因数为2,3,5
根据 其还包含2n,3n,5n的所有四个数,说明其因数2,3,5之间可以等量互换
故数集为 求和 2^i*3^j*5^k i+j+k=0,1,2,3,4..
i+j+k=0 有一个数1
i+...

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设数集存在一个数X
根据 如果对于任意正整数n，在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个，则集合中包含n
所以数集包含X的所有因数且所有质因数为2,3,5
根据 其还包含2n,3n,5n的所有四个数,说明其因数2,3,5之间可以等量互换
故数集为 求和 2^i*3^j*5^k i+j+k=0,1,2,3,4..
i+j+k=0 有一个数1
i+j+k=1 有3个数2，3，5
i+j+k=2 有C13+C12+C11=6个数
i+j+k=3 有C14+C13+C12+C11=10个数
i+j+k=4 有C15+C14+C13+C12+C11=15个数
总数为1+3+6+10+15+..=求和{(n^2+n)/2}
={n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}/2
300<{n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}/2<400
解得n=12
{n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}/2=364

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