求证平行四边形4条边的平方和等于对角线的平方和平行四边形oabcOB^2+AC^2=OA^2+AB^2+BC^2+CO^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:26:38
求证平行四边形4条边的平方和等于对角线的平方和平行四边形oabcOB^2+AC^2=OA^2+AB^2+BC^2+CO^2
求证平行四边形4条边的平方和等于对角线的平方和
平行四边形oabc
OB^2+AC^2=OA^2+AB^2+BC^2+CO^2
求证平行四边形4条边的平方和等于对角线的平方和平行四边形oabcOB^2+AC^2=OA^2+AB^2+BC^2+CO^2
用向量来证最简单,只需3步,而且不用作任何辅助线.
（以下的量均表示向量,那个箭头打不出来）
证明：平行四边形ABCD中
AC＝DC－DA
BD＝DA＋DC
所以 AC^2＋BD^2＝（DC－DA）^2＋（DA＋DC）^2
＝DC^2＋DA^2－2DC*DA＋DC^2＋DA^2＋2DC*DA
＝AB^2＋BC^2＋CD^2＋DA^2
得证
设平行四边形 边长分别是 a,和 b
对角线是c 和d,
两对角是 A ,B
则有 A+B=180
所以 cosA+cosB=0
应用余弦定理
c^2=a^2+b^2-2ab*cosA (1)
d^2=a^2+b^2-2ab*cosB (2)
(1)+(2)得
c^2+d^2=2(a^2+b^2)
命题得证
AC^2=a^2+b^2-2abcosB
BO^2=a^2+b^2-2abcos(180°-B)=a^2+b^2+2abcosB
两式相加，
AC^2+BO^2=a^2+b^2+a^2+b^2，得证
如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F
则AE=BF,DE=CF
设BF=a，CF=b
∴AC^2=(AB+a)^2+b^2
BD^2=b^2+(AB-a)^2
两式相加
AC^2+BD ^2
=2AB^2+2a^2+2b^2
=2AB^2+2(a^2+b^2)
=2AB^2+2BC^2
=2AB ...
全部展开
如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F
则AE=BF,DE=CF
设BF=a，CF=b
∴AC^2=(AB+a)^2+b^2
BD^2=b^2+(AB-a)^2
两式相加
AC^2+BD ^2
=2AB^2+2a^2+2b^2
=2AB^2+2(a^2+b^2)
=2AB^2+2BC^2
=2AB ^2+2BC^2+2CD^2+2DA^2
收起
用向量的只是来做比较简单，设OA=a(a上面应有一个箭头，代表向量下同),OC=b，则OB=a+b,CA=a-b.所以OB^2+CA^2=（a+b）^2+(a-b)^2=2*a^2+2*b^2
而OA=BC=a，OC=AB=b,所以OB^2+AC^2=OA^2+AB^2+BC^2+CO^2，结论成立。