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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 19:33:28
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若(x^2)^2+(y^2)^2=z^2无解,则(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2也无解.所以只需证明(x^2)^2+(y^2)^2=z^2无整数解即可.
假设 (x,y,z)为方程(x^2)^2+(y^2)^2=z^2一个解并且x,y互质,y为偶数,则
x^2=a^2-b^2;y^2=2ab;z=a^2+b^2,其中a>b>0,a,b互质,a、b 的奇偶性相反.
由x^2=a^2-b^2得a必定是奇数,b必定是偶数.
另外,亦得x^2+ b^2=a^2,再从此得x=c^2-d^2;b=2cd;a=c^2+d^2,其中c>d>0,c,d互质,c、d的奇偶性相反.
因而y^2=2ab=4cd(c^2 + d^2),
由此得c、d和c^2+d^2为平方数.
于是可设c=e^2;d=f^2;c^2+d^2=g^2,即e^4+f^4=g^2.
换句话说,(e,f,g)为方程x^4+^y^4=z^2的另外一个解.
但是,z=a^2+b^2=(c^2+d^2)^2+4c^2d^2>g^4>g>0.
就是说如果我们从一个z值出发,必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程x^4+y^4=z^2.如此类推,我们可以找到一个比g更小的数值,同时满足上式.
但是,这是不可能的!因为z为一有限值,这个数值不能无穷地递降下去!由此可知我们最初的假设不正确.
所以,方程x^4+y^4=z^2没有正整数解.

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