数论 请帮我是否存在互不相同的质数p.q.r.s,使得他们的和为640,且p2+qs和p2+qr都是完全平方数?若存在,求p.q.r.s的值；若不存在,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 15:29:20
数论 请帮我是否存在互不相同的质数p.q.r.s,使得他们的和为640,且p2+qs和p2+qr都是完全平方数?若存在,求p.q.r.s的值；若不存在,说明理由.
数论 请帮我
是否存在互不相同的质数p.q.r.s,使得他们的和为640,且p2+qs和p2+qr都是完全平方数?若存在,求p.q.r.s的值；若不存在,说明理由.
数论 请帮我是否存在互不相同的质数p.q.r.s,使得他们的和为640,且p2+qs和p2+qr都是完全平方数?若存在,求p.q.r.s的值；若不存在,说明理由.
不存在
仅供参考
证明
首先证明p,q,r,s都不为2
因为p+q+r+s=640
如果p ,q ,r,s中有为2的数
则其它3个数和为638 质数除去2都为奇数得不到638 矛盾
所以p,q,r,s都不为2
假设存在p,q,r,s满足条件
设未知数k1,k2
p^2+qs=k1^2
(k1-p）*（k1+p）=q*s……1
p^2+qr=k2^2
(k2-p）*（k2+p）=q*r……2
因为存在互不相同的质数p,q,r,s
1,2成立则左右均不能分解为其它因子的乘积
所以1得k1-p=q k1+p=s或k1-p=s k1+p=q
2得k2-p=q k2+p=r或k2-p=r k2+p=q
得到两组解k1-p=q k1+p=s k2-p=r k2+p=q和k1-p=s k1+p=q k2-p=q k2+p=r（另两组解会导致r=s,不符合题意）
由第一组解得3s-5p=640
得3s=640+5p p为奇数,5p为尾数5的数,3s为大于640且尾数为5的数,则s必是5的倍数且s一定大于5
所以5一定是s的约数
与s是质数矛盾
故不存在
同理由第二组解得3r-5p=640
得5一定是r的约数
与r是质数矛盾
故不存在
综上 不存在
是否存在互不相同的质数p。q。r。s，使得他们的和为640，且p^2+qs和p^2+qr都是完全平方数？若存在，求p。q。r。s的值；若不存在，说明理由
在已知条件中s,r的地位是对等的(s,r值可以交换)。
先设s>r,求解，如有解，交换s,r可得另一解。
设s>r；p^2+qs=xx，p^2+qr=yy,则x>y>p($$$).
则
qs=(x...
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是否存在互不相同的质数p。q。r。s，使得他们的和为640，且p^2+qs和p^2+qr都是完全平方数？若存在，求p。q。r。s的值；若不存在，说明理由
在已知条件中s,r的地位是对等的(s,r值可以交换)。
先设s>r,求解，如有解，交换s,r可得另一解。
设s>r；p^2+qs=xx，p^2+qr=yy,则x>y>p($$$).
则
qs=(x+p)(x-p) (#1)
qr=(y+p)(y-p) (#2)
备忘：
q(s-r)=(x+y)(x-y) (#3)
易见素数p,q,r,s均不等于2（否则p+q+r+s必定为奇数）
由于q为素数，故q=x+p或x-p
先假定为q=x+p,由#1,#2及x<>y,q=x+p=y-p,与x>y矛盾。故必有
q=x-p=y+p (#4)
s=x+p,r=y-p (#5)
备忘
由#4立即得：
q=(x+y)/2,p=(x-y)/2 (#4)
备忘：#3#4得
s-r=2(x-y)=4p
由#4#5立即得:
s+r=x+y=2q
由s+r+p+q=640得
3q+p=640=5*128=5*2^7
或s+r+(s-r)/4+(s+r)/2=640
即4s+4r+s-r+2s+2r=2560
即7s+5r=2560=5*512=5*2^9
两边mod 7,r==1 mod 7.
两边mod 5,s=0 mod 5.
于是s=5,
于是r<5,r=3
s-r=4p无解。
故无解。
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