设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 22:08:32
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0
（1）求f(1/2)、f(1/4)
(2)证明f(x)是周期函数
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a＞0（1）求f(1/2)、f(1/4)(2)证明f(x)是周期函数
(1)f(1)=f(1/2)+f(1/2)=a
可知f(1/2)=a/2
同理f(1/4)=f(1/2)/2=a/4.
(2)由x=1是对称轴知,
f(x)=f(2-x)
又f(x)是偶函数,
f(2-x)=f(x-2)
所以f(x)=f(x-2)
等价于f(x)=f(x+2)
又定义域为R,
所以f(x)为周期函数.
a
a
由于知道f(1)=a
令x1=1/2 x2=1/2
则f(x1+x2)=f(1/2+1/2)=f(1/2)·f(1/2)
a =f(1)= f(1/2+1/2)= f(1/2)·f(1/2)= f(1/2)的平方
所以f(1/2)=根号a
再令x1=1/4 x2=1/4
同理，可求出f(1/4)...
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由于知道f(1)=a
令x1=1/2 x2=1/2
则f(x1+x2)=f(1/2+1/2)=f(1/2)·f(1/2)
a =f(1)= f(1/2+1/2)= f(1/2)·f(1/2)= f(1/2)的平方
所以f(1/2)=根号a
再令x1=1/4 x2=1/4
同理，可求出f(1/4)
第二问，由于其图象关于直线x=1对称
所以可得出f(x)=f([-x+2])…………（根据对称性[x-x+2]/2=1)
又因为其是定义在R上的偶函数，f(x)=f([-x+2])=f([x+2])
所以周期是2
就是这样子。
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