设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5 都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=2证明:f(x)是周期函数并求f(1/2n)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:32:01
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5 都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=2证明:f(x)是周期函数并求f(1/2n)
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称
设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5 都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=2
证明:f(x)是周期函数并求f(1/2n)
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5 都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=2证明:f(x)是周期函数并求f(1/2n)
（1）对于定义域内的任意x1,由f(x)的图像关于直线x=1对称可得
f(x)=f[x-2(x-1)]=f(2-x)
因为f(x)为R上的偶函数,则f(2-x)=f(x-2)
故f(x)=f(x-2),可令u=x-2,代入前式,得
f(u+2)=f(u)
所以f(x)为R上的周期函数,最小正周期为n=2.
（2）f(1/2n)=f(1/4) ,根据已知,
对任意x1,x2属于闭区间[0,0.5],都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),
因此,f(1)=f(1/2)*f(1/2)=[f(1/2)]^2
又因为f(1)=2 ==＞ [f(1/2)]^2=2 ==＞ f(1/2)=√2,或（-√2）
而,f(1/2)=f(1/4)*f(1/4)=[f(1/4)]^2
故f(1/2)＞0,即f(1/2)=√2
同理可知,f(1/4)=[f(1/4)]^2＞0,
所以,f(1/4)=√f(1/2)=√（√2）=2^(1/4).
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