已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/28 21:40:55

已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1

已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC
已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC

已知正方体ABCD_A1B1C1D1,P为DD1中点,o为底面中心,求证（1）AC垂直平面BB1O（2）B1O垂直平面PAC
第一个问题：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD,∴AC⊥BB1.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴ABCD是正方形,∴AC⊥BO.
由AC⊥BB1、AC⊥BO、BB1∩BO＝B,得：AC⊥平面BB1O.
第二个问题：利用赋值法,令AB＝2.
∵AC⊥平面BB1O,∴B1O⊥AC.
容易证得：∠OBB1＝∠ODP＝∠PD1B1＝∠B1A1D1＝90°.
∴由勾股定理,有：
B1O^2＝BB1^2＋BO^2＝4＋（BD/2）^2＝4＋（AD^2＋AB^2）/4＝4＋（4＋4）/4＝6.
PO^2＝PD^2＋DO^2＝（DD1/2）^2＋BO^2＝1＋2＝3.
PB1^2＝PD1^2＋B1D1^2＝PD^2＋（A1D1^2＋A1B1^2）＝1＋（4＋4）＝9.
∴B1O^2＋PO^2＝PB1^2,∴由勾股定理的逆定理,有：B1O⊥PO.
由B1O⊥AC、B1O⊥PO、AC∩PO＝O,得：B1O⊥平面PAC.