在数列{an}中,a1=2,a（n+1）=2an+2^（n+1）,n∈N+,1)求数列{an}的通项公式2)求数列{an}的前n项和Sn3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:09:10
在数列{an}中,a1=2,a（n+1）=2an+2^（n+1）,n∈N+,1)求数列{an}的通项公式2)求数列{an}的前n项和Sn3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
在数列{an}中,a1=2,a（n+1）=2an+2^（n+1）,n∈N+,
1)求数列{an}的通项公式
2)求数列{an}的前n项和Sn
3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
在数列{an}中,a1=2,a（n+1）=2an+2^（n+1）,n∈N+,1)求数列{an}的通项公式2)求数列{an}的前n项和Sn3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
(1)∵a[n+1]=2a[n]+2^[n+1],n∈N+
∴两边同除以2^[n+1],得：
a[n+1]/2^(n+1)-a[n]/2^n=1
∵a[1]=2
∴{a[n]/2^n}是首项为a[1]/2^1=1,公差也为1的等差数列
即：a[n]/2^n=1+(n-1)=n
∴数列{an}的通项公式是：a[n]=n2^n
(2)∵S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^n
∴2S[n]=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n2^(n+1)
将上面两式相减,得：
S[n]=n2^(n+1)-{2^1+2^2+2^3+...+2^n}
=n2^(n+1)-2(2^n-1)
=n2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)2^(n+1)+2
∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(n-1)2^(n+1)+2
(3)∵a[n+1]/a[n]=[(n+1)2^(n+1)]/(n2^n)=2(n+1)/n=2(1+1/n)
且由n∈N+知：n≥1,即：1/n≤1
∴存在k=1,使得：2(1+1/n)≤2(1+1)=4
即：存在k=1,使得a[n+1]/a[n]
两边同时除以2^（n+1）就好做了
过程？
原来的式子两边同时除以2^（n+1）就好做了
可以参照: http://zhidao.baidu.com/question/65062155.html?si=6