证明:若正整数n不能被2和3整除,则n平方减1必能被24整除,

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 01:42:07
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证明:若正整数n不能被2和3整除,则n平方减1必能被24整除,
证明:若正整数n不能被2和3整除,则n平方减1必能被24整除,

证明:若正整数n不能被2和3整除,则n平方减1必能被24整除,
n^2-1=(n+1)(n-1)
n-1,n,n+1是三个连续自然数,必有一个能被3整除.
因n不能被2,3整除,则n-1,n+1必有一个被3整除,同时均为2的倍数,连续2的倍数必有一个是4的倍数.故能被2*3*4=24整除.

25

a为奇数.设a=2k+1
a^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1).
k（k+1）能被2整除，
8|4k（k+1），8|（a^2-1）.
3|a（a-1）（a+1）=a（a^2-1），
3|（a^2-1）.3与8互质,
24|(a^2-1),能被24整除.

n不能被2和3整除，则n必能写成6k+1或者6k-1的形式。
情况1：n²-1=(6k±1)²-1=12k(3k±1)
而k与3k±1中，必有一偶数，所以整个式子能被24整除。
证毕。

证明 因为n不能被2和3整除 所以n为奇数
n^1-1/24=(n+1)(n-1)/24
n为奇数 则n+1,n-1为连续的2个偶数 其中一个必能被4整除
(n+1)(n-1)能被8整除
又 n-1,n,n+1为3个连续自然数 必能整除3
所以n^1-1能被24整除。

因为正整数n不能被2和3整除，所以，n被6除的余数是1或5，
设 n=6k±1（k为正整数），
则 n^2-1=12k(3k±1)，k为奇数时，3k±1为偶数；k为偶数时，3k±1为奇数，
因此12k(3k±1)必是24的倍数，
即n^2-1能被24整除

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