勾股定理的精选例题关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 07:05:11
勾股定理的精选例题关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
勾股定理的精选例题
关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
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勾股定理·典型例题
能力素质
例1 如图3.16-1,已知:∠ABD=∠C=90°,AC=BC,∠DAB=30°,AD=8,求BC的长.
解析 先在Rt△ABD中,求出AB,继而在Rt△ACB中求出BC.
解 Rt△ABD中,
∵∠ABD=90°,∠DAB=30°,
由勾股定理知:
AB2=AD2-BD2=82-42=48.
在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.
∵AC2+BC2=AB2,
∴2BC2=48,
∴BC2=24,
例2 直角三角形斜边长为2,两直角边和为6,求此直角三角形面积.
解 设直角边为a、b,
∴a2+b2=4.
点击思维
例3 如图3.16-2,沿AE折叠长方形,使D落在BC边上的点F处,已知: AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
解析 因△ADE与△AFE重合,所以△ADE≌△AFE,于是AF=AD=BC=10cm,EF=DE.
可求得BF、FC的长.
由EF+EC=DC,
可利用EF2=EC2+FC2,
列方程求解.
解 由题意知:△ADE≌△AFE,
∴AF=AD=BC=10cm, EF=DE.
∴BF2=AF2-AB2=102-82=62
∴BF=6(cm).
∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).
设EC=xcm,则EF=(8-x)cm.
在△EFC中,∠C=90°,
∴FC2+EC2=EF2.
∴42+x2=(8-x)2.
∴x=3cm.
即EC=3(cm).
点评 当已知直角三角形关于边长的两个条件时,可利用勾股定理列方程求解.
例4 已知直角三角形的两边长为3、4,求另一边长.
解析 两边长为3、4,分两类
(1)3、4是直角边长;
(2)4是斜边长.
例5 如图3.16-3,已知:∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的面积.
解 延长AD、BC交于E.
∵∠A=60°,∠B=90°,
∴∠E=30°.
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48.
DE2=CE2-CD2=42-22=12.
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
点评 不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为两个三角形面积之差.
学科渗透
例6 如图3.16-4中,已知△ABC中,AB=AC,D为BC上的任一点.求证:AD2+BD·DC=AB2.
解析 证明线段的平方问题,应充分运用勾股定理和代数公式,因此需要构造直角三角形,故作BC边上的高AE.
证明 过A点作AE⊥BC于E.
∵AB=AC,
∴BE=EC.
又∵AE⊥BC,
∴AB2=AE2+BE2,
AD2=AE2+ED2.
∴AB2-AD2=BE2-ED2
=(BE+ED)(BE-ED)(平方差公式)
=(EC+ED)(BE-ED)
=CD·BD.
∴AD2+BD·DC=AB2.
变式 若D在BC的延长线上,求证:AB2+BD·DC=AD2.(同学们自行练习)
解 如图3.16-5: