实数x、y,满足4x²+4y²-5xy=5.设s=x²+y²,求s的最小值的倒数+最大值的倒数 的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 13:54:41
实数x、y,满足4x²+4y²-5xy=5.设s=x²+y²,求s的最小值的倒数+最大值的倒数 的值.
实数x、y,满足4x²+4y²-5xy=5.设s=x²+y²,求s的最小值的倒数+最大值的倒数 的值.
实数x、y,满足4x²+4y²-5xy=5.设s=x²+y²,求s的最小值的倒数+最大值的倒数 的值.
(x-y)^2>=0 x^2+y^2>=2xy 5xy<=5(x^2+y^2)/2
4X^2+4Y^2-5XY=5 5xy=4(x^2+y^2)-5 <= 5(x^x+y^2)/2
4S-5 <= 5S/2 S<=10/3
(x+y)^2>=0 按上面做法得到 S>=10/13
所以Smax=10/3 Smin=10/13
1/Smax+1/Smin=3/10+13/10=8/5
令x=u+v，y=u-v，则已知条件转化为4(u+v)^2+4(u-v)^2-5(u+v)(u-v)=5，即3u^2+13v^2=5；而s=x^2+y^2=2(u^2+v^2)。
由3u^2+13v^2=5，知u^2=(5-13v^2)/3，从而v^2的取值范围为0≤v^2≤5/13；
将其代入s的表达式，得到s=2(u^2+v^2)=2((5-13v^2)/3+v^2)=10/3...
全部展开
令x=u+v，y=u-v，则已知条件转化为4(u+v)^2+4(u-v)^2-5(u+v)(u-v)=5，即3u^2+13v^2=5；而s=x^2+y^2=2(u^2+v^2)。
由3u^2+13v^2=5，知u^2=(5-13v^2)/3，从而v^2的取值范围为0≤v^2≤5/13；
将其代入s的表达式，得到s=2(u^2+v^2)=2((5-13v^2)/3+v^2)=10/3-20v^2/3。
将v^2的取值范围再次代入表达式，知道s_max=10/3，s_min=10/3-20/3*5/13=10/13。
最后，得到倒数和等于8/5。
收起