什么叫做燕尾定理

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:33:06
什么叫做燕尾定理什么叫做燕尾定理什么叫做燕尾定理燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB上点,满足AD、BE、CF交于同一点O

什么叫做燕尾定理
什么叫做燕尾定理

什么叫做燕尾定理
燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O).
 


  
S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;
同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;
S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE.
 
 

证法1


  
下面的是第一种方法:利用分比性质(若a/b=c/d,则(a-b)/b=(c-d)/d,[1]b≠0,d≠0,)[2]
(注:∵(a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,
(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,
a/b=c/d
∴(a-b)/b=(c-d)/d
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD
利用分比性质,得
S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD
即S△AOB:S△AOC=BD:CD
命题得证.
证法2
下面的是第二种方法:相似三角形法
 



  证法1图
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E.
求证:AE=CE 证明:
如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N;
过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q.
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD
∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD
∴MO:BD=NO:CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF
∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF
∴PO:BF=QO:AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)
∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE
∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE
∴MR:AE=PR:CE
∵MN∥BC,PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)
∴AE=CE
命题得证.
证法3
下面的是第三种方法:面积法
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E.
求证:AE=CE
证明:
如图,
∵点D是BC的中点,点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC(绿) = S△AOB(红)
∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)
∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)
∵S△AOE:S△AOB(红) = OE:OB,S△COE:S△BOC(蓝) = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB(红) = S△COE:S△BOC(蓝)
∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证.
证法4
下面的是第四种方法:中位线法
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E.
求证:AE=CE
证明:
如图,延长OE到点G,使OG=OB.
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)
∵点O是BG的中点,点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG,CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证.
证法5:因为ABCO是凹四边形,根据共边比例定理,命题得证
 
 
推广:共边比例定理

四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E

  
则有BE :DE=S△ABC :S△ADC
此定理是面积法最重要的定理