设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+(1+x)e^x试确定常数αβγ,并求通解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:19:58
设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+(1+x)e^x试确定常数αβγ,并求通解
设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+(1+x)e^x试确定常数αβγ,并求通解
设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+(1+x)e^x试确定常数αβγ,并求通解
y=e^(2x)+(1+x)e^x,
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,
y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,
代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,对任意x都成立,
∴4+2α+β=0,
3+2α+β-γ=0,
1+α+β=0.
解得α=-3,β=2,γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特征根是1,2,其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.
4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x e^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0 4+2α+β=0 (1) 3+2α+β...
全部展开
4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x e^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0 4+2α+β=0 (1) 3+2α+β-γ=0 (2) 1+α+β=0 (3) (1-3) -> α=-3 代入(3) -> β=2 代入(2) -> γ=-1 原方程变为：y''-3y'+2y=-e^x 其通 y=C1e^x+C2e^(2x)+xe^x
收起