已知角α为锐角,求证1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:38:11
已知角α为锐角,求证1
已知角α为锐角,求证1
已知角α为锐角,求证1
作出单位圆,单位圆与坐标轴交于点A(1,0),B(0,1).
设角α的终边交单位圆于点P,过点P作PM⊥x轴,
根据三角函数线的知识可知：MP =sinα,OM=cosα,
在RT△PMO中,MP+OM>OP,
即sinα+cosα>1.
又因△POA的面积＜扇形POA的面积,
所以1/2•OA•MP
sinx+cosx=sinx+√（1-sinx^2）>=2sinxcosx
当且仅当sinx=√（1-sinx^2)时等号成立
此时2sinx^2=1
sinx^2=1/2
sinx=√2/2
x=45度
f(min)=(√2/2)^2*2=1
sinx+cosx>=1
f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
...
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sinx+cosx=sinx+√（1-sinx^2）>=2sinxcosx
当且仅当sinx=√（1-sinx^2)时等号成立
此时2sinx^2=1
sinx^2=1/2
sinx=√2/2
x=45度
f(min)=(√2/2)^2*2=1
sinx+cosx>=1
f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f(x)max=√2=1.414<3.14/2
所以1<=sinx+cosx<π/2
f(x)=sinx^3+cosx^3=(sinx+cosx)(sinx^2-sinxcosx+cosx^2)
sinx^2+cosx^2=1
f(x)=(1-sinxcosx)(sinx+cosx)=√2sin(x+π/4)(1-sinxcosx)<=√2/2[sin(x+π/4)^2+(1-sinxcosx)^2]当且仅当sin(x+π/4)^2=1-sinxcosx时等号成立f(x)取得最大
√2/2sinx-√2/2cosx=1-sinxcosx
√2/2(sinx-cosx)=1-sinxcosx
sinxcosx<1
√2/2(sinx-cosx)>=1
sinx-cosx>=√2
sin(x-π/4)>=√2
sinx<=1于是我们知道
1-sinxcosx被放大的倍数至少为√2
所以√2(1-sinxcosx)<=1
1-sinxcosx<=√2/2
sin(2x)<=2-√2约等于0.586
x约等于36度
f(x)max=(sin36)^3+(cos36)^3=0.20+0.53=0.73<1
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