已知sinx+cosx=根号2/2,求sinx的四次方+cosx的四次方

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/21 19:57:55

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已知sinx+cosx=根号2/2,求sinx的四次方+cosx的四次方
已知sinx+cosx=根号2/2,求sinx的四次方+cosx的四次方

已知sinx+cosx=根号2/2,求sinx的四次方+cosx的四次方
设a=sinx,b=cosx,题中的隐含条件是a^2+b^2=1
由a+b=√2/2得(a+b)^2=1/2,a^2+2ab+b^2=1/2,2ab=-1/2,ab=-1/4
(a^2+b^2)^2=1,又
a^4+2a^2b^2+b^4=a^4+b^4+2(ab)^2=a^4+b^4+1/8
∴a^4+b^4=1-1/8=7/8,即sin^4 x+cos^4 x=7/8

因为sinx+cosx=√2/2
所以(sinx+cosx)^2=1+sin2x=1/2
所以sin2x=-1/2
(sinx)^4+(cosx)^4=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-2(sinxcosx)^2=1-(sin2x)^2/2=7/8

设前者为x后者为y
则x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=1-2x^2y^2
而1/2=(x+y)^2=1+2xy xy=-1/4
代入原式的结果得7/8

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