理论力学动力学问题 已知物块A重力为P1,均质滑轮B与均质滚子C半径相等,均为R.重力均为P2.斜面倾角为β,弹簧刚度系数为K,且P1>P2sinβ,滚子作纯滚动.开始时弹簧为原长,系统无初速,绳子倾斜

理论力学动力学问题 已知物块A重力为P1,均质滑轮B与均质滚子C半径相等,均为R.重力均为P2.斜面倾角为β,弹簧刚度系数为K,且P1>P2sinβ,滚子作纯滚动.开始时弹簧为原长,系统无初速,绳子倾斜
理论力学动力学问题
已知物块A重力为P1,均质滑轮B与均质滚子C半径相等,均为R.重力均为P2.斜面倾角为β,弹簧刚度系数为K,且P1>P2sinβ,滚子作纯滚动.开始时弹簧为原长,系统无初速,绳子倾斜段与斜面平行.试求：（1）物块M下降距离为h时,物块M的速度与加速度.（2）绳索对滚子B的拉力.

 


 

 

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理论力学动力学问题 已知物块A重力为P1,均质滑轮B与均质滚子C半径相等,均为R.重力均为P2.斜面倾角为β,弹簧刚度系数为K,且P1>P2sinβ,滚子作纯滚动.开始时弹簧为原长,系统无初速,绳子倾斜
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物块M下降距离为h时，滚子受力分析有：绳子的拉力F，滚子的重力P2，斜面的支持力F支持，弹簧的拉力F弹，设此时滚子的速度为V，加速度为a；物体A受力分析有：A的重力P1，绳子的拉力F，速度和滚子的速度等大为V，加速度和滚子等大为a。根据能量守恒定律有：
P1*h - P2*hsinβ =1/2*(P2/g)*V^2+1/2*(P2/g)*V^2+1/2*K*h^2-----------...

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物块M下降距离为h时，滚子受力分析有：绳子的拉力F，滚子的重力P2，斜面的支持力F支持，弹簧的拉力F弹，设此时滚子的速度为V，加速度为a；物体A受力分析有：A的重力P1，绳子的拉力F，速度和滚子的速度等大为V，加速度和滚子等大为a。根据能量守恒定律有：
P1*h - P2*hsinβ =1/2*(P2/g)*V^2+1/2*(P2/g)*V^2+1/2*K*h^2---------------------------------1）
( 1 2 3 4 5 ：1、A重力势能减少量；2、滚子重力势能减少量；3、A动能增加量；4、滚子动能增加量；5、弹簧储能增加量）
根据上式求解得：
V=[g(P1h-P2sinβ-1/2*K*h^2)/P2]^0.5
对滚子而言，在斜面方向上有：
P2/g*a=F-P2sinβ-Kh----------------------------2)
对于物体A而言，有：
P1-F=P1/g*a--------------------------------------3)
联立以上两式求解得：
a=g(P1 - P2sinβ-Kh)/(P1+P2)
根据式子3，代入a的求解值，可求得：
F=P1-P1/g*[g(P1 - P2sinβ-Kh)/(P1+P2)]=(P1P2+P1P2sinβ+P1Kh)/(P1+P2)

（1）物块M下降距离为h时，物块M的速度为V=[g(P1h-P2sinβ-1/2*K*h^2)/P2]^0.5；加速度为
a=g(P1 - P2sinβ-Kh)/(P1+P2)。
（2）绳索对滚子B的拉力为F=(P1P2+P1P2sinβ+P1Kh)/(P1+P2)。

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1）以系统作为研究对象，如上图所示。开始系统处于静平衡，所以合力矩∑M=0

∴KX(弹力)*R+P2*Sin β*R=P1*R，即 弹力KX=P1-P2Sinβ

∴弹力所做的功为：

  Wk=1/2*K*[X²-(X+h)²]=(P1-P2Sinβ)*h - K*h²*1/2

系统做的功为：

∑W=Wp1+Wp2+Wk=P1*h - P2*h*Sinβ + (P1 - P2Sinβ)*h - 1/2 *K*h² 

       =2*(P1*h - P2*h*Sinβ) - 1/2 *K*h²

开始系统静止，故动能T0 = 0；当物块A下降h时，设A的速度为V，系统动能为T1,，则

T1=1/2 * P1*V²/g + 1/2*(1/2 *P2*R²/g)*(V/R)² + 1/2 *(1/2 *P2*R²/g)*(V/R)²

   =(P1+2*P2*V²) /(2g)

∴T1 - T0=∑W，得

 (P1+2*P2*V²) /(2g) =2*(P1*h - P2*h*Sinβ) - 1/2 *K*h² 

求得 V=√[2*(P1h-P2*hsinβ - Kh²/2) / (P1+2*P2)]

物块A的质量m=P1/g

∴所求的加速度 a=F合/m=(P1-P2*Sinβ -K*h)*g /(P1+2*P2)

2）以A和B组成的系统作为研究对象，如上图所示。系统对B的动量矩为

LB=1/2 *P2*R²*h / 2g + P1*V*R/g

由(d/dt)LB=∑M，得

1/2*P2*R²*h/g  + P1*R*a/g=P*R-T*R

∴求得T=3/2 * P1*P2 /(P2+P1)  +(2P1+P2)(P2*Sinβ + K*h)/2(P1+P2)