求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:35:07
求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0
求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0
求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0
楼上不要乱说啦,调和级数下面不是还要除以一个n嘛
证明：
法一：对于数学基础比较好的人,或者参加过数学建模的人,或许知道如下式子：
当n趋向于无穷大时：1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n) + C
其中C是欧拉常数,C约等于0.5772...
于是本题轻而易举：
lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n
=lim [ln(n)+C]/n
用罗比达法则：
=lim (1/n)/1
=0
法二：本题是“无穷大/无穷大”的极限,直接用STOLZ定理.
lim A(n)/B(n)
=lim [A(n+1)-A(n)]/[B(n+1)-B(n)]
所以原式=
lim [1/(n+1)]/[(n+1)-n]
=lim 1/(n+1)
=0
法三：如果不知道上面两个高级的公式,就老老实实证明：
先证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数,再代入法一.
我们就先来证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数.
原式=
lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - ln[(2/1)*(3/2)*(4/3)*...*(n/(n-1))]
=lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - [ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln(n/(n-1))]
=lim 1 + [(1/2)-ln(1/2)] + [1/3-ln(3/2)] + ...+[1/n-ln(n/(n-1))]
这是一个级数,把ln函数用泰勒级数展开,正好第一项会被前面的1/n消去,所以这个级数相当于(1/n^2),是收敛的.
至此证明了“lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数”
然后用法一就行了.