一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:09:26
一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
一道立体几何题目
五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.
求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.
(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
（1）连接BC1和B1C,交于点O.连接DO.
D为AC中点,O为B1C中点.三角形AB1C中DO为中位线平行于AB1.又DO 在平面BDC1中,所以命题得证.
（2）由面积求余弦：
由三垂线定理,C1D垂直于BD.则三角形BDC1面积=1/2*BD*DC1
过D做DD'垂直于BC于D',则DD'垂直于面BCC1B1.所以三角形BD'C1是三角形BDC1在面BCC1B1上的投影.其面积=1/2*C1C*BD'.
求各段长度：
取E1,E分别为B1C1和BC的中点.AB1=AC1(全等可证,对称可证,此处略)所以AE1垂直B1C1.勾股定理得AE1=√15（没根号就拿对勾吧）.
直角三角形AE1E（AEE1=90°直二面角）中AE=√3,所以EE1=2√3.即BB1=CC1=2√3.BD'=3/4*BC=3/2.三角形C1CD中C1D=√13.
代入面积然后做比得：
余弦值=（1/2*3/2*√3）/(1/2*√13√3)=(3√13)/13（汗……这么不整,是不是算错了?）