三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点证明：AM/AX=cos角ABC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 14:10:35
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点证明：AM/AX=cos角ABC
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点
证明：AM/AX=cos角ABC
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点证明：AM/AX=cos角ABC
题目有点问题,应该是AM/AX=|cos∠BAC|
题目错写成cos∠ABC,另外当∠BAC是钝角时,显然cos∠BAC是负值.以∠BAC是锐角为例证明,钝角情况类同
证法一：（利用余弦定理和正弦定理）
假设圆O的半径是r
1) 根据余弦定理：
AB^2=BM^2+AM^2-2*BM*AM*cos∠BAM ...(a)
AC^2=CM^2+AM^2-2*CM*AM*cos∠CAM ...(b)
(a)+(b)得：AB^2+AC^2=(1/2)*BC^2+2*AM^2,于是：
AM^2=(1/2)*AB^2+(1/2)*AC^2-(1/4)*BC^2 ...(c)
2) 根据正弦定理,将AB=2*r*cosC,AC=2*r*cosB,BC=2*r*cosA带入(c)式得：
AM^2=r^2*[2*(cosC)^2+2*(cosB)^2-(cosA)^2]
=r^2*[(1-cos(2C))+(1-cos(2B))-(1-(sinA)^2)]
=r^2*[1+cosAcosBcosC+3*cosAsinBsinC]
3) 显然O、M、X三点共线,∠AOX=2*B+A或者∠AOX=2*C+A,无论如何都有cos∠AOX=-cos(B-C).△AOX中运用余弦定理：
AX^2=AO^2+OX^2-2*AO*OX*cos∠AOX
=r^2+(r/cosA)^2+2*r*(r/cosA)*cos(B-C)
=(r/cosA)^2*[(cosA)^2+1+2*cosA*cos(B-C)]
=(r/cosA)^2*[1+cosAcosBcosC+3*cosAsinBsinC]
4) 比如2)、3)的结论可知(AM/AX)^2=(cosA)^2,从而AM/AX=|cosA|
证法二：（纯几何证明）
延长AM交圆O于D,记AX交圆O于E
1) 显然O、M、X三点共线,BM*CM=OM*XM,根据相交弦定理又BM*CM=AM*DM,于是OM*XM=AM*DM,根据相交弦逆定理可知A、O、D、X四点共圆
2) 显然OA=OD,根据同圆中等弦对等角可知∠MXO=∠AXO,即直线XM、XA关于XO对称,自然XM、XA与圆O的近交点D、E关于XO对称
3) B、C同样关于XO对称,所以BD=CE,根据同圆中等弦对等角可知∠BAM=∠EAC
4) 根据3)的结论很容易证明△BAM相似于△EAC,于是BM/AM=CE/AC
5) 根据切割线定理很容易知道CE/AC=CX/AX
6) 比较4)、5)的结论有BM/AM=CX/AX,变形得AM/AX=BM/CX=BM/BX=cosA
这题对么？？对于一个三角形ABC，只要角ABC不等于角ACB，在这道题里互换B，C的位置都不会影响这些线的画出，但是其实角度变了，所以这个等式不恒等啊
你想问的是什么兄弟，我好给你解释