圆内接三角形有甚麼性质?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 13:46:57
圆内接三角形有甚麼性质?
圆内接三角形有甚麼性质?
圆内接三角形有甚麼性质?
圆内接三角形的一个性质及应用
五方向 王永梅
性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积.
已知圆O是△ABC的外接圆,AD是边BC上的高,AE是圆O的直径.
求证：AB·AC=AD·AE.
证明：如图1所示,连结BE,则有
图1
又AD上是边BC上的高,
所以
故
即
因此,AB·AC=AD·AE.
该性质应用非常广泛,巧妙地应用此性质解题,能简化解题过程.现举例说明如下：
1.证明等积式
例1.如图2所示,已知AB为圆O的一条弦,C、D在圆O上且在AB的同侧,求证：AD·BD·CE=AC·BC·DF.
图2
证明：设圆O的直径为d,则
AD·BD=DF·d
AC·BC=CE·d
两式相乘得
AD·BD·CE·d=AC·BC·DF·d
即
2.证明比例式
例2.已知圆O的内接四边形ABCD的对角线BD平分AC于E.求证；.
证明：如图3所示,分别过点A、C作.
图3
设圆O的直径为d,则
3.证明定值
例3.两圆相交于两点A、B,经过交点B的任意一直线和两圆分别相交于点C、D.求证：AC与AD的比为定值.
证明：如图4所示,连结AB,过A作
图4
设圆O1、圆O2的直径分别为,则,两式相除,得（为定值）.
4.求函数式
例4.如图5所示,已知圆O的内接△ABC中,AB+AC=12,且AD=3.设圆O的半径为y,AB的长为x.求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
图5
连结AO,并延长交圆O于E,则
因为△ABD、△ACD均为直角三角形,且
AD=3,所以
即自变量x的取值范围是.
练习：
已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角线,且.
求证：是定值.
圆心是三角形三条边上的垂直平分线上的焦点
变奔驰了
三个角之和，180。
圆心是三条边垂直平分线交点、三个角的角平分线交点、三条边的中心线交点