用数学归纳法证明:1/2+1/3+1/4+...+1/（2^n-1）>(n-2)/2(n≥2）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 02:23:35
用数学归纳法证明:1/2+1/3+1/4+...+1/（2^n-1）>(n-2)/2(n≥2）
用数学归纳法证明:1/2+1/3+1/4+...+1/（2^n-1）>(n-2)/2(n≥2）
用数学归纳法证明:1/2+1/3+1/4+...+1/（2^n-1）>(n-2)/2(n≥2）
n=2时：1/(2^n-1) = 1/2 > (n-2)/2 =0 ,成立
设当n=k是成立,也即有1/2 + 1/3 + …… + 1/(2^k-1) > (k-2)/2
当n=k+1时,左 = 1/2 + 1/3 + … + 1/(2^k-1) + 1/{ (2^k-1) + 1} + 1/{ (2^k-1) + 2} + … + 1/(2^k) > (k-2)/2 + 1/{ (2^k-1) + 1} + 1/{ (2^k-1) + 2} + … + 1/(2^k) > (k-2)/2 + 1/(2^k) + … + 1/(2^k) = (k-2)/2 + 1/2 = (k+1-2)/2 = 右边
说明：从2^k-1到2^k正好是2^k-1这么多个数,将1/{ (2^k-1) + 1}、1/{ (2^k-1) + 2}……这些数全部放缩成1/(2^k),又由于1/{ (2^k-1) + 1}、1/{ (2^k-1) + 2}……各自都大于1/(2^k),则他们的和大于1/(2^k)乘以个数,也即1/(2^k) * 1/(2^k-1) ,故而放缩正确.
还有不懂的再问我就是了!
一、n=2 5/6>0
二、证1/(2^(n-1))+...+1/(2^n-1)＞1/2
1/(2^(n-1))+...+1/(2^n-1)＞（2^（n-1））数的个数/（2^n-1)末分母＞1/2
∴1/2+1/3+1/4+...+1/（2^n-1）>（n-2）/2证毕