高三数学 证明 1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>In(n+1)/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 14:24:56
高三数学 证明 1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>In(n+1)/2
高三数学 证明 1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>In(n+1)/2
高三数学 证明 1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>In(n+1)/2
设f(x)=ln(1+x)-x(x>=0),f'(x)=1/(1+x)-10时,f(x)=ln(1+x)-x
证明：设f(x)=1/x-ln((x+2)/(x+1)) (x>0)
则f'(x)=-1/x²-1/(x+2)+1/(x+1)
=1/((x+2)(x+1))-1/x²=-(3x+2)/(x²(x+1)(x+2))
∵x>0
∴f'(x)<0,f(x)递减
∴当x趋于无穷大时，f(x)趋于0
因此，对任意x>0,f(x)...
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证明：设f(x)=1/x-ln((x+2)/(x+1)) (x>0)
则f'(x)=-1/x²-1/(x+2)+1/(x+1)
=1/((x+2)(x+1))-1/x²=-(3x+2)/(x²(x+1)(x+2))
∵x>0
∴f'(x)<0,f(x)递减
∴当x趋于无穷大时，f(x)趋于0
因此，对任意x>0,f(x)>0
∴1/x>ln((x+2)/(x+1))
∴1/1>ln(3/2)
1/2>ln(4/3)
1/3>ln(5/4)
……
1/(n-1)>ln((n+1)/n)
叠加得
1+1/2+1/3+……+1/(n-1)>ln(3/2)+ln(4/3)+ln(5/4)+……+ln((n+1)/n)
=ln((3/2)×(4/3)……×((n+1)/n))=ln((n+1)/2)
证毕
收起
证明：构造函数y=x-ln(1+x)
则y'=1-1/(1+x)>0 故函数在(0,1]单调增 又y(x=0)=0
故当0
则当n>1时
有1/(n-1)>ln(1+1/(n-1))=ln(n/(n-1))
用数学归纳法证明
1.当n=2时，左边=1+1/2 显然>ln3/2 故不等式当n=2时成立
2.设当n...
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证明：构造函数y=x-ln(1+x)
则y'=1-1/(1+x)>0 故函数在(0,1]单调增 又y(x=0)=0
故当0
则当n>1时
有1/(n-1)>ln(1+1/(n-1))=ln(n/(n-1))
用数学归纳法证明
1.当n=2时，左边=1+1/2 显然>ln3/2 故不等式当n=2时成立
2.设当n=k(k E N*,k>=2)时成立
当n=k+1时 左边>ln(（k+1）/2)+1/k
>ln(（k+1）/2)+ln((k+1)/k)
=ln((k+1)^2/2k)
=ln((k+2+1/k)/2)
>ln((k+2)/2)
故当n=k+1时，不等式成立
收起
可以用数学归纳法，，
①n＝1时，1＞0＝In1②设当n＝k时成立，所以就有：1＋＋1╱3＋……＋1╱（n-1）＞In（n＋1╱2）③当n＝K＋1时 左边＝1＋……＋1╱n-1＋1╱n＞【In（n＋1╱2）＋1╱n 】 然后再把方括号里的和In（n＋2╱2）相减，，