求证10人中必有3人两两认识或4人两两不认识.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 02:51:16
求证10人中必有3人两两认识或4人两两不认识.
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求证10人中必有3人两两认识或4人两两不认识.
例3 连接圆周上九个不同点的36条直线染成红色或蓝色,假定有九点中每三点所确定的三角形都至少含有一条红色边,证明存在4点,其中每两点的连线都是红色的.（第八届加拿大数学奥林匹克,1976年）
分析：这个问题等价于以下命题：在二染色完全图K9中,要么存在所有边被染为蓝色的完全图K3,要么存在所有边被染为红色的完全图K4.更直接地说,就是证明R（3,4）≤9.这又是一个典型的拉姆赛型问题.
因为从一点引出的8条直线被染成红蓝两色,故至少有四条直线同色.
ⅰ 若有一点（设为A）引出的蓝色直线大于等于4条,并设A向点A1、A2、A3、A4引出了蓝色直线.此时,若A1A2、A1A3、A1A3、A2A3、A2A4、A3A4中任一条为蓝色,那么K9中便存在蓝色完全图K3；若A1A2、A1A3、A1A3、A2A3、A2A4、A3A4中每一条都为红色,那么就形成了一个以点A1、A2、A3、A4为顶点的红色完全图K4.所以,这种情况下命题成立.
ⅱ 每一点至少连出5条红色直线.若每一点都只连出5条红色直线,那么这九个点连出的红色直线数就不是整数,故至少有一点连出了6条红色直线.设该点为B,并设点B向点B1、B2、B3、B4、B5、B6引出了红色直线.
在考虑从点B1引出的五条直线B1B2、B1B3、B1B4、B1B5、B1B6,则至少有三条同色,设为B1B2、B1B3、B1B4.如果这三条都是蓝色的,那么以B、B2、B3、B4为顶点的完全图K4所有边都为红色,命题成立；如果这三条都为红色,考虑△B2B3B4,若每条边都为蓝色,那么就存在蓝色完全图K3；若有一边为红色,设为B2B3,则以B、B2、B3、B4为顶点的完全图K4符合要求,命题成立.
综上所述,原命题成立.