使得数p2+3pq+q2是一个完全平方数的质数对(p,q)共有几组
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:55:20
使得数p2+3pq+q2是一个完全平方数的质数对(p,q)共有几组
使得数p2+3pq+q2是一个完全平方数的质数对(p,q)共有几组
使得数p2+3pq+q2是一个完全平方数的质数对(p,q)共有几组
首先p = q时p²+3pq+q² = 5p²不为完全平方数,以下不妨考虑p > q.
设正整数n满足n² = p²+3pq+q² = (p+q)²+pq,即pq = n²-(p+q)² = (n+p+q)(n-p-q).
由p > q均为质数且n+p+q > n-p-q均为正整数,有n-p-q = 1或n-p-q = q.
若n= p+q+1,代回得pq = 2p+2q+1,即(p-2)(q-2) = 5.由p > q均为质数,可得p = 7,q = 3.
若n= p+2q,代回得2p+3q = p,无正整数解.
故质数对(p,q)只能为(7,3)或(3,7).
假设：p² +3pq+q² =m² (m是自然数）
m² -(p+q)² -pq=0
(m+p+q)(m-p-q)=pq
因为p和q是质数，所以p×q=1*pq,除此结果没有其它的乘积形式表述
所以 m+p+q=pq,且m-p-q=1
pq=...
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假设：p² +3pq+q² =m² (m是自然数）
m² -(p+q)² -pq=0
(m+p+q)(m-p-q)=pq
因为p和q是质数，所以p×q=1*pq,除此结果没有其它的乘积形式表述
所以 m+p+q=pq,且m-p-q=1
pq=2(p+q)+1
(p-2)*(q-2)=5
所p和q只有两组（3，7）或（7，3）
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p^2+3pq+q^2=(p+q)^2+pq，设A=p^2+3pq+q^2，B=(p+q)^2，则pq=A-B，从奇偶性判断：
如果AB均为偶数，由完全平方数的性质可知AB均为4的倍数，因此pq也为4的倍数，p=q=2，不符合，排除。
如果AB均为奇数，由完全平方数的性质可知AB的形式均为4n+1，因此pq为4的倍数，不符合假设，排除。
如果AB一奇一偶，则pq为奇数，因此...
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p^2+3pq+q^2=(p+q)^2+pq，设A=p^2+3pq+q^2，B=(p+q)^2，则pq=A-B，从奇偶性判断：
如果AB均为偶数，由完全平方数的性质可知AB均为4的倍数，因此pq也为4的倍数，p=q=2，不符合，排除。
如果AB均为奇数，由完全平方数的性质可知AB的形式均为4n+1，因此pq为4的倍数，不符合假设，排除。
如果AB一奇一偶，则pq为奇数，因此p和q必同为奇数，p+q为偶数，即A为奇数，B为偶数。
再由均值不等式p^2+q^2>=2pq，可知pq<=B/4。而(p+q+3)^2=p^2+q^2+9+6pq+6p+6q>p^2+3pq+q^2=A，因此必然有A=p^2+3pq+q^2=(p+q+1)^2，即AB为相邻的完全平方数。该问题即是求2p+2q+1=pq的奇质数解。
2p+2q+1=pq
pq-2p-2q-1=0
pq-2p-2q+4-5=0
(p-2)(q-2)-5=0
(p-2)(q-2)=5
因此解得p=3，q=7或p=7，q=3。没有其他整数解。
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