已知线段AB的长度为3,两端均在抛物线x=y^2上,试求AB中点M到y轴最短距离时M的坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 23:49:38
已知线段AB的长度为3,两端均在抛物线x=y^2上,试求AB中点M到y轴最短距离时M的坐标
已知线段AB的长度为3,两端均在抛物线x=y^2上,试求AB中点M到y轴最短距离时M的坐标
已知线段AB的长度为3,两端均在抛物线x=y^2上,试求AB中点M到y轴最短距离时M的坐标
方法一：
设A的坐标为（yo^2,yo）B为（y1^2,y1)
所以中点坐标为（（yo^2＋yo）／2,（y1^2＋y1)/2)
根据两点的距离公式（yo^2-y1^2）^2＋(y0-y1)^2=9 ①
根据中点到y点距离有d^2=（(y1^2+y0^2)/2）^2 ②
化简①代入②式得d关于y0的方程,求导,令导数等于零得出y0的值
再把y0代入①,从而可得m的坐标为：（9/4,0）
方法二：
因为抛物线是关于x轴对称的,当AB与y轴平行的时候中点到y轴的距离最短．M点在x轴上,所以可设A（YO^2,Y0) B(Y0^2,-YO)
根根据两点的距离公式：2Y0＝3
从而得M的坐标为：（9/4,0）
准线x=-1/2
设M(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2)
因为A,B两点到准线的垂线，与准线、线段AB共同围成直角梯形，而M到准线的垂线是其中位线。则有以下关系：
x0+1/2=1/2[(x1+1/2)+(x2+1/2)]
所以，x0的值是与AB两点到焦点的距离是相关的。
设焦点为C,AC+BC>=AB
当线段AB经过点C时等号成立<...
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准线x=-1/2
设M(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2)
因为A,B两点到准线的垂线，与准线、线段AB共同围成直角梯形，而M到准线的垂线是其中位线。则有以下关系：
x0+1/2=1/2[(x1+1/2)+(x2+1/2)]
所以，x0的值是与AB两点到焦点的距离是相关的。
设焦点为C,AC+BC>=AB
当线段AB经过点C时等号成立
所以，x0+1/2=1/2[(x1+1/2)+(x2+1/2)]=3/2
x0=1
设直线AB：y=k(x-1/2)
联立方程：x=y^2,y1^2+y2^2=2(因为x1+x2=2)
可解出y、k值 k=1，y=1/2
累死了，懂了吗？
上面那个做错了，误人子弟啊，只有当焦点在AB上才最短呢！
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任取一条WO=3，且W，O是抛物线x=y^2上的点。
设W（L^2，L）O（K^2，K）
则WO中点到Y轴距离为（L^2+K^2）/2
由由均值不等式的变形可以知道（L^2+K^2）/2≥LK
（当且仅当L=K时取到=）
所以L=K时WO中点到y轴的距离最短
即WO垂直于X轴，此时WO为AB
所以M到Y轴最短距离为(3/2)^2=2.25...
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任取一条WO=3，且W，O是抛物线x=y^2上的点。
设W（L^2，L）O（K^2，K）
则WO中点到Y轴距离为（L^2+K^2）/2
由由均值不等式的变形可以知道（L^2+K^2）/2≥LK
（当且仅当L=K时取到=）
所以L=K时WO中点到y轴的距离最短
即WO垂直于X轴，此时WO为AB
所以M到Y轴最短距离为(3/2)^2=2.25
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x=y^2
准线x=-0.25,焦点F(0.25,0)
所以M到y到距离为：
0.5（AF+BF）-0.25>=0.5AB-0.25=1.25
所以最短距离为1.25，此时AB过焦点（0.25,0）
M(1.25,y0)
设直线AB：y=k(x-0.25)带入x=y^2
得x=k^2(x-0.25)^2
k^2*x^2 -(0.5k^...
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x=y^2
准线x=-0.25,焦点F(0.25,0)
所以M到y到距离为：
0.5（AF+BF）-0.25>=0.5AB-0.25=1.25
所以最短距离为1.25，此时AB过焦点（0.25,0）
M(1.25,y0)
设直线AB：y=k(x-0.25)带入x=y^2
得x=k^2(x-0.25)^2
k^2*x^2 -(0.5k^2 + 1)x +k^2/16=0
因为中点M（1.25，y0）
所以x1+x2=2*1.25=(0.5k^2 + 1)/k^2
k=2^0.5/2 或 k=-2^0.5/2
当k=2^0.5/2时
y=2^0.5/2
M(1.25,2^0.5/2)
k=-2^0.5/2
y=-2^0.5/2
M(1.25,-2^0.5/2)
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