若当n趋向于无穷时,limun=a,证明:当n趋向于无穷时lim|un|=|a|

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 17:20:47
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若当n趋向于无穷时,limun=a,证明:当n趋向于无穷时lim|un|=|a|
由limun=a,
知对于任意的e>0,存在自然数k0,使得n>k0时,有|un-a|k0时,||un|-|a||小于等于|un-a|

证明:若 limun=a , 则 lim(n->∞) |un|=|a| .
证明:
① 对任意 ε>0
∵ lim(n->∞) un = a , 则对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ,当 n>N 时,恒有:|un-a|<ε ,
有:||un|-|a||< |un-a| < ε 【三角不等式】 ,故:

② 存在 N...

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证明:若 limun=a , 则 lim(n->∞) |un|=|a| .
证明:
① 对任意 ε>0
∵ lim(n->∞) un = a , 则对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ,当 n>N 时,恒有:|un-a|<ε ,
有:||un|-|a||< |un-a| < ε 【三角不等式】 ,故:

② 存在 N∈Z+,
③ 当 n>N 时,

④ ||un|-|a||< |un-a|< ε 恒成立。
∴lim(n->∞) |un|=|a| 。

注意其逆命题不成立,如反例:
设: un=(-1)^n a= -1 ,
且:lim | (-1)^n | = |-1| = 1
但: lim (-1)^n 不存在 .

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