确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:50:02
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,
上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；
如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样.为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?
写错了一个字：为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换？
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
洛必达法则
d/dx (ax - sinx) = a - cosx
d²/dx² (ax - sinx) = sinx
d/dx ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x - x²
d²/dx² ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - 2x
==> 原式 = lim(x→0) (sinx)/(- 2x) = - 1/2 = c
x - sinx x³/6
∫(x,0) ln(1 + t³)/t dt
∫(x,0) t² dt、当x→0的时候亦有t→0,在积分号里用等价无穷小
= 0³/3 - x³/3 = - x³/3
于是lim(x→0) (x³/6)/(- x³/3) = (1/6)(- 3) = - 1/2 = c
当 x→0 时，极限式分子 (ax-sinx)→0，若存在极限c，分母也须趋于0，故积分式上限b=0；
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t；（如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同）
应用洛必达法则；lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}...
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当 x→0 时，极限式分子 (ax-sinx)→0，若存在极限c，分母也须趋于0，故积分式上限b=0；
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t；（如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同）
应用洛必达法则；lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}
=lim{(cosx-xsinx-a)/[3x²/(1+x³)]}=(1/3)*lim{(cosx-xsinx-a)/x²}；
上式末端分母仍是趋于0，若存在极限，则分子部分也要趋于0，即 cosx-a→0，∴ a=1；
原式=(1/3)*lim{(-2sinx-xcosx)/(2x)}=(1/3)*(-1 -1/2)=-1/2=c；
a=1 需要推导到一定步骤后才能判断出，中途不能假定；不知所述“分母 ln(1+t³)/t 等价于 t² ”是如何得出，又如何能将等价无穷小应用到积分式内部；
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