设函数f(x)等于ax-2lnx,a属于r求函数f(x)在[1,正无穷)上的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 21:00:57
设函数f(x)等于ax-2lnx,a属于r求函数f(x)在[1,正无穷)上的最值
设函数f(x)等于ax-2lnx,a属于r
求函数f(x)在[1,正无穷)上的最值
设函数f(x)等于ax-2lnx,a属于r求函数f(x)在[1,正无穷)上的最值
设函数f(x)=ax-2lnx,a∈R,求函数f(x)在[1,+∞)上的最值.
若a≤0则
f(x)=ax-2lnx在[1,+∞)上单调递减,其最大值=f(1)=a·1-2ln1=a；
若a＞0则
f'(x)=a-2/x
=(ax-2)/x
当a≥2时,在x∈(1,+∞)上,f'(x)＞0,f(x)单调递增,在x∈[1,+∞)上 f(x)最小值=f(1)=a·1-2ln1=a；
当0＜a＜2时,在x∈[1,2/a)上,f'(x)＜0,f(x)单调递减,在x∈(2/a,+∞)上f'(x)＞0,f(x)单调递增,f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值=f(2/a)=a·(2/a)-2ln(2/a)=2-2ln(2/a)；
综上,f(x)在x∈[1,+∞)上,当a≤0时有最大值f(1)=a；当0＜a＜2时有最小值f(1)=a；当a≥2时有最小值f(2/a)=2-2ln(2/a).
答：
f(x)=ax-2lnx，x>=1
求导：
f'(x)=a-2/x
1）
当a<=0时：
f'(x)<0恒成立，f(x)是单调递减函数
f(x)在x=1处取得极大值f(1)=a
2）
当a>0时：
解f'(x)=a-2/x=0得：x=2/a>0
2.1）
0
全部展开
答：
f(x)=ax-2lnx，x>=1
求导：
f'(x)=a-2/x
1）
当a<=0时：
f'(x)<0恒成立，f(x)是单调递减函数
f(x)在x=1处取得极大值f(1)=a
2）
当a>0时：
解f'(x)=a-2/x=0得：x=2/a>0
2.1）
0
x>2/a时，f'(x)>0，f(x)单调递增
所以：x=1时f(x)取得最小值f(1)=a
2.2）
当0
1
所以：x=2/a>1时，f(x)取得极小值f(2/a)=2-2ln(2/a)
综上所述，在x>=1时：
a<=0，极大值f(1)=a
0
收起
f(x)=ax-2lnx
f'(x)=a-2/x
当a<=0时，f'(x)<0,函数单调减，最大值为f(1)=a,没有最小值；
当a>0时，由f'(x)=0得x=2/a为极小值点，
当2/a>=1时，即0
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f(x)=ax-2lnx
f'(x)=a-2/x
当a<=0时，f'(x)<0,函数单调减，最大值为f(1)=a,没有最小值；
当a>0时，由f'(x)=0得x=2/a为极小值点，
当2/a>=1时，即0
收起