如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.(1)求经过A,B,C3点
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:50:27
如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.(1)求经过A,B,C3点
如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.(1)求经过A,B,C3点的抛物线和解析式.(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长.(3)连接EF,设三角形BEF与三角形BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
如图,已知在直角梯形哦OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD垂直于BC,交OA于点D,将角DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.(1)求经过A,B,C3点
(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则 c=2 4a+2b+c=2 9a+3b+c=0 ,
解得 a=−2 3 b=4 3 c=2 ;
∴抛物线的解析式为y=-2 3 x2+4 3 x+2;
(2)设抛物线的顶点为G,
则G(1,8 3 ),过点G作GH⊥AB,垂足为H,
则AH=BH=1,GH=8 3 -2=2 3 ;
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH;
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=4 3 ;
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB;
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA=4 3 ;
∵CM=OC-OM=3-2=1,
∴CF=FM+CM=7 3 ;
(3)设CF=a,则FM=a-1,
∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
则S△BEF=1 2 BE•BF=1 2 (a2-2a+5),
又∵S△BFC=1 2 FC•BM=1 2 ×a×2=a,
∴S=1 2 (a2-2a+5)-a=1 2 a2-2a+5 2 ,
即S=1 2 (a-2)2+1 2 ;
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=1 2 .