一道高中抛物线证明题求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/28 03:36:20

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一道高中抛物线证明题求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切.
一道高中抛物线证明题
求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切.

用几何法证明较简单些.

设AB为焦点弦,其中点为M,分别过A、B作准线的垂线,垂足分别是D、C.

则由抛物线的定义易知：|AD|+|BC|=|AB|

取CD的中点N,则|MN|=(|AD|+|BC|)/2=|AB|/2

从而 ⊿ABN为Rt⊿,N为直角.（这点由初中平面几何知识易得）

所以,以焦点弦AB为直径的圆就的Rt⊿ABN的外接圆,

由于CD过N点且垂直于半径MN,

所以 CD是圆M的切线.

从而,以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切.

不妨设抛物线为y²=2px
设焦点为F，准线方程为x=-p/2
焦点弦为AB，圆心为AB中点C
xC=（xA+xB）/2
C到准线的距离d=xC+p/2=（xA+xB）/2+ p/2
直径AB=AF+BF=xA+p/2+xB+p/2=2R
所以 d=R
所以以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切。

抛物线的标准式是 y²=2px 焦点横坐标为p/2 准线横坐标为-p/2
把焦点横坐标代入抛物线中y²=p² y=正负P 那么直径长为2P
半径为p 焦点到准线距离为p/2-(-p/2)=p
则抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

分两类证明：1）过焦点不存在一直线，则直线垂直于抛物线的对称线，易证！

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