证明若n是任意整数,则n^9-n^3=0(mod 504),必有重谢阿.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:09:46
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证明若n是任意整数,则n^9-n^3=0(mod 504),必有重谢阿.
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证明若n是任意整数,则n^9-n^3=0(mod 504),必有重谢阿.
504=7*8*9,所以
n^9-n^3≡0(mod 504)以下3式同时成立:
n^9-n^3≡0(mod 7).(1)
n^9-n^3≡0(mod 8).(2)
n^9-n^3≡0(mod 9).(3)
(1)易证,因n^7≡n(mod 7),得n^9≡n^7*n^2≡n*n^2≡n^3(mod 7)
(2)当2|n时显然成立,只需要考虑n为奇数的情况,这时总有n^2≡1(mod 8),所以
n^9-n^3≡(n^2)^4*n-n^2*n≡1^4*n-1*n≡n-n=0(mod 8)
(3)当3|n时显然成立,只需要考虑n为非3倍数的情况,这时总有n^6≡1(mod 9),所以
n^9≡n^6*n^3≡1*n^3=n^3(mod 8)
有何重谢,很期待啊

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