这个数列怎么求和等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/07 21:41:06
这个数列怎么求和等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
这个数列怎么求和
等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
这个数列怎么求和等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
∵an=2^n
∴a1=2 q=2
于是Sn=2(1-2ⁿ)/(1-2)=2(2ⁿ-1)=2^(n+1)-2
S1+2S2+...+nSn
=2²-2+2*(2³-2)+3*(2⁴-2)+……+n[2^(n+1)-2]
=2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1)-(2+2*2+3*2+n*2)
=[2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1) ]-2(1+2+3+…………+n)
设Tn=2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1)
则2Tn= 2³+2*2⁴+3*2^5+……+n*2^(n+2)
相减得
Tn=-2²-2³-2⁴-……-2^(n+1)+n*2^(n+2)
=-[2²+2³+2⁴+……+2^(n+1)]+n*2^(n+2)
=-2²(1-2ⁿ)/(1-2)+n*2^(n+2)
=4-2^(n+2)+n*2^(n+2)
=(n-1)*2^(n+2) +4
Qn=2(1+2+3+…………+n)=2*(n+1)n/2=n²+n
∴S1+2S2+...+nSn
=Tn-Qn
=(n-1)*2^(n+2) +4-(n²+n)
=(n-1)*2^(n+2) -n^2-n+4
∵an=2^n
∴Sn=2^(n+1) -2
设Bn=nSn=n·2^(n+1)-2n
则Tn=S1+2S2+...+nSn
=1·2²+2·2³+…+n·2^(n+1)-2×(1+n)·n/2
=1·2²+2·2³+…+n·2^(n+1) + 0 ...
全部展开
∵an=2^n
∴Sn=2^(n+1) -2
设Bn=nSn=n·2^(n+1)-2n
则Tn=S1+2S2+...+nSn
=1·2²+2·2³+…+n·2^(n+1)-2×(1+n)·n/2
=1·2²+2·2³+…+n·2^(n+1) + 0 -(1+n)·n ①
2Tn=0 +1·2³+…+(n-1)·2^(n+1)+n·2^(n+2)-2(1+n)·n ②
①②式相减得:
Tn=(n-1)·2^(n+2)-(1+n)·n+4
收起
用错位相减法,具体运算挺复杂的