若a>b>e,证明b^a>a^b
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:36:08
若a>b>e,证明b^a>a^b
若a>b>e,证明b^a>a^b
若a>b>e,证明b^a>a^b
要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即：alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时,f'(x)b>e时,f(a)lna/a
故原命题得证
两边取对数：即证alnb>blna等价于:a/lna>b/lnb(lna,lnb>0)作函数：f(x)=x/lnx,知函数f(x)在（e,正无穷）递增，所以f(a)>f(b)。得证
设f(x)=(lnx)/x
则 f'(x)=(1-lnx)/x^2
当 x>e时，f'(x)<0
即 f(x)在（e,+无穷）是递减
故：f(a)
欲证a^b>b^a,即证b*Ina>a*Inb,即证b/a>Ina/Inb(注：因为b>a>e，所以Ina，Inb 均大于1)。设辅助函数F(x)=x/a-Inx/Ina.对其求导，F'(x)=1/a-1/(x*Ina)=(x*Ina-a) /(a*x*Ina)>0.(因为x属于（a,b），Ina>1,所以x*Ina-a>0).F(x)为增函数。故 F(x)>F(a)=0,即F(b)>F(a)=0.即b/a-Inb/Ina>0.原式得证
lnb^a=alnb
lna^b=blna
alnb/blna=(a/b)*(lnb/lna)
令f(x)=lnx/x
则f`(x)=[1/x*x-lnx*1]/x^2=(1-lnx)/x^2
当x>e时 lnx>1 f`(x)<0 故该函数在(e,正无穷)上递减
既f(b)>f(a)
lnb/b>lna/a
既(lnb/lna)*(a/b)>1
故alnb/blna>1
既lnb^a/lna^b>1
lnb^a>lna^b
b^a>a^b
既lnb^a
设f(x)=x^(1/x),x>e
两边取对数然后求导得
lnf(x)=(1/x)lnx,
(1/f(x))df/dx=(-1/x^2)lnx+1/x^2=(1/x^2)*(1-lnx)
故得df/dx=f(x)*(1/x^2)*(1-lnx)=x^(1/x)*(1/x^2)*(1-lnx)
由x>e,得lnx>1,1-lnx<0,故得df/dx<0,于是f(x)=x^(1/x)在x>e时是递减的,故当a>b>e时,b^(1/b)>a^(1/a),于是得b^a>a^b.
alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当x>e时 lnx>1 f`(x)<0 故该函数在(e,正无穷)上递减
既f(b)>f(a)
lnb/b>lna/a
既(lnb/lna)*(a/b)...
全部展开
alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当x>e时 lnx>1 f`(x)<0 故该函数在(e,正无穷)上递减
既f(b)>f(a)
lnb/b>lna/a
既(lnb/lna)*(a/b)>1
故alnb/blna>1
既lnb^a/lna^b>1
lnb^a>lna^b
b^a>a^b
既lnb^a
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