解这一道极限的题目lim(x趋向于正无穷)[(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)我知道将上面改成2x+1,但然后又不知怎么做?写出过程,答案或你认为可以说清楚的东西,谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 10:36:04
解这一道极限的题目lim(x趋向于正无穷)[(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)我知道将上面改成2x+1,但然后又不知怎么做?写出过程,答案或你认为可以说清楚的东西,谢谢.
解这一道极限的题目
lim(x趋向于正无穷)[(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)
我知道将上面改成2x+1,但然后又不知怎么做?写出过程,答案或你认为可以说清楚的东西,谢谢.
解这一道极限的题目lim(x趋向于正无穷)[(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)我知道将上面改成2x+1,但然后又不知怎么做?写出过程,答案或你认为可以说清楚的东西,谢谢.
令t=2x+1
原式=lim(x趋向于正无穷)[(t+2)/t]^( t+1/2)
=lim
=
[(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)=[1+2/(2x+1）]^(x+1)
当x趋于正无穷时，2/(2x+1）趋于0，(x+1)趋于正无穷，
也就是说原极限等于1^正无穷，等于1
原式=lim[(1+2/(2x+1))]^(x+1)=lim{[1+1/(x+1/2)]^(x+1/2)*(1+1/(x+1/2))^1/2}=e
换元。可设t=2x+2
2x+1=t-1,
2x+3=t+1
x+1=t/2
且当x--->+∞时，t--->+∞
原式
=[(t+1)/(t-1)]^(t/2)
={1+[2/(t-1)]}^[(t-1)/2]×{1+[2/(t-1)]}^(1/2)
易知，当t--->+∞时，
1+[2/(t-1)] ------...
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换元。可设t=2x+2
2x+1=t-1,
2x+3=t+1
x+1=t/2
且当x--->+∞时，t--->+∞
原式
=[(t+1)/(t-1)]^(t/2)
={1+[2/(t-1)]}^[(t-1)/2]×{1+[2/(t-1)]}^(1/2)
易知，当t--->+∞时，
1+[2/(t-1)] ------>1.
∴第二部分极限{1+[2/(t-1)]}^(1/2) ----->1
对于第一部分极限
{1+[2/(t-1)]}^[(t-1)/2] ----->e.
(可以比对极限 [1+(2/m)]^(m/2) ---->e思考)
∴原极限=e
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