若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数如题,一定一定要很清楚!答了以后满意我会追很多分!
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/11 05:56:33
若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数如题,一定一定要很清楚!答了以后满意我会追很多分!
若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数
如题,一定一定要很清楚!答了以后满意我会追很多分!
若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数如题,一定一定要很清楚!答了以后满意我会追很多分!
n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
而 n-1 n n+1是连续的三个整数,其中必有一个是3的倍数,至少有一个是2的倍数
所以(n-1)n(n+1)是6的倍数
同理 n(n+1)(n+2)也是6的倍数
他们的和 n(n+1)(2n+1)也是6的倍数
没听懂
证明:(1)∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n
∵n为整数,∴8|8n.
即8|(2n+1)2-(2n-1)2命题得证;
(2)n3-n=n(n2-1)=(n-1)n(n+1)
∵n为正整数,(n+1)和n是连续2个自然数,必定一奇一偶,
所以,2|n(n+1);而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数,<...
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证明:(1)∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n
∵n为整数,∴8|8n.
即8|(2n+1)2-(2n-1)2命题得证;
(2)n3-n=n(n2-1)=(n-1)n(n+1)
∵n为正整数,(n+1)和n是连续2个自然数,必定一奇一偶,
所以,2|n(n+1);而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数,
必有一个是3的倍数,所以3|(n-1)n(n+1),
即6|(n-1)n(n+1).命题得证.
(3)设这四个连续自然数依次为n-2,n-1,n,n+1,
其中n>2且n为自然数,则依题意:
(n-2)(n-2)n(n+1)+1
=(n-2)(n+1)(n-1)n+1
=(n2-n-2)(n2-n)+1
=(n2-n)2-2(n2-n)+1
=(n2-n-1)2,
因为n为自然数,所以n2-n-1必为整数,即命题得证.
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n或者n+1中一定有一个可以被2整除,所以n(n+1)(2n+1)可以被2整除
n除以3的余数有3种可能:如果为0,n可以被3整除;如果为1,2n+1可以被3整除;如果为2,n+1可以被3整除。所以不管怎样n(n+1)(2n+1)可以被3整除
于是n(n+1)(2n+1)可以被2*3=6整除
题目有漏洞 0也是整数 当n=0时 就不是6的倍数
6=2*3
n(n+1)(2n+1)中
n(n+1)是相邻的两个数,是2的倍数,可设n=2k,n=2k+1,代入可知两项必有一项是2的倍数
下面设n=3k,n=3k+1,n=3k+2代入,可知三项必有一项是3的倍数
给你一个最笨的证明方法
n(n+1)(2n+1)
任意整除除以3的余数有3种情况,分别为0,1,2
1.设n=3k,k为整数
原式=3k(3k+1)(6k+1)
①若k为偶数,则3k能被6整除,得证
②若k为奇数,则3k+1为偶数,3(3k+1)能被6整除,得证
2.设n=3k+1,k为整数
原式=(3k+1)(3k+2)(6k+3)...
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给你一个最笨的证明方法
n(n+1)(2n+1)
任意整除除以3的余数有3种情况,分别为0,1,2
1.设n=3k,k为整数
原式=3k(3k+1)(6k+1)
①若k为偶数,则3k能被6整除,得证
②若k为奇数,则3k+1为偶数,3(3k+1)能被6整除,得证
2.设n=3k+1,k为整数
原式=(3k+1)(3k+2)(6k+3)
=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
①若k为偶数,则3k+2为偶数,3(3k+2)能被6整除,得证
②若k为奇数,则3k+1为偶数,3(3k+1)能被6整除,得证
3.设n=3k+2,k为整数
原式=(3k+2)(3k+3)(6k+5)
=3(3k+2)(k+1)(6k+5)
①若k为偶数,则3k+2为偶数,3(3k+2)能被6整除,得证
②若k为奇数,则k+1为偶数,3(k+1)能被6整除,得证
综上,n(n+1)(2n+1)是6的倍数
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