是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,对于一切正整数n都成立?并证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 17:56:47
是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,对于一切正整数n都成立?并证明.
是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,对于一切正整数n都成立?并证明.
是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^3+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12,对于一切正整数n都成立?并证明.
先假设存在
则当N=1,N=2,N=3时等式能够成立
N=1时：1*2^2=4=1*2*(a+b+c）/12
a+b+c=24
N=2时：4+2*3^2=22=2*3*(4a+2b+c)/12
4a+2b+c=44
N=3时：22+3*4^2=3*4*(9a+3b+c)/12
9a+3b+c=70
这个方程组的解是a=3 b=11 c=10
所以如果存在满足条件的a b c一定是这三个数.否则如果连前3项都不满足,一定不存在
下面证明对于一切N都成立
N=1时 该等式成立,已证
假设N=K时该等式能成立则当N=K+1时
1*2^2+2*3^2+.+k(k+1)^2+(k+1)(k+2)^2 (前K项和加在一起）
=k(k+1)(3k^2+11k+10)/12+（k+1)(k+2)^2(提取k+1)
=(k+1)(3k^3+11k^2+10k+12k^2+48k+48)/12(合并同类项）
=(k+1)(3k^3+23k^2+58k+48)/12（把两次以后的项拆开,凑一个k+2得因子出来）
=(k+1)[(3k^3+6k^2)+(17k^2+34k)+(24k+48）]（提取k+2）
=(k+1)(k+2)(3k^2+17k+24)(方法同上凑k+1因子）
=(k+1)(k+2)[(3k^2+6k+3)+(11k+11)+10]
=(k+1)(k+2)[3(k+1)^2+11(k+1)+10]
故对于一切N a=3 b=11 c=10 都能使等式成立